3.1 Какие уравнения называют квадратными

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Переменная x входит в него во второй степени. Такое определение помогает отличить квадратное уравнение от линейного и выбрать подходящий способ решения.

Коэффициенты квадратного уравнения — числа a, b и c. Число a называют первым коэффициентом, b — вторым, а c — свободным членом. По этим обозначениям удобно записывать формулы и описывать свойства уравнения.

Стандартный вид квадратного уравнения — запись ax² + bx + c = 0. К нему уравнение приводят перед дальнейшим решением. В стандартной записи легче увидеть все коэффициенты и не ошибиться со знаками.

Корень квадратного уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Иными словами, левая и правая части уравнения становятся равными. Корни являются ответами уравнения, поэтому каждый найденный результат нужно проверять.

Как это устроено

Условие a ≠ 0 связано с самой второй степенью переменной. Если a = 0, произведение ax² равно нулю и член с x² исчезает. Например, 0x² + 5x − 1 = 0 превращается в 5x − 1 = 0, то есть в линейное уравнение.

Чтобы распознать квадратное уравнение, найдите слагаемое с x² и определите его числовой множитель. Затем проверьте, что этот множитель не равен нулю. После этого слагаемое с x обозначает bx, а число без переменной — c, причём пропущенный член имеет коэффициент 0.

Для приведения к стандартному виду сначала раскрывают скобки, чтобы все слагаемые стали видны. Затем слагаемые с переменной и числа переносят в одну часть равенства, меняя знак при переносе. В конце приводят подобные слагаемые и располагают результат в порядке x², x, свободный член.

Одно и то же уравнение может выглядеть по-разному, потому что его преобразуют равносильными действиями. Например, перенос слагаемого или деление обеих частей на одно и то же ненулевое число не меняет множество корней. Поэтому запись 2x² + 4x = 0 и x² + 2x = 0 имеет одинаковые корни, хотя коэффициенты записаны иначе.

Проверка корня основана на определении решения уравнения. Найденное число подставляют вместо x во всё исходное равенство, а не только в один его член. Если после вычислений обе части совпали, число действительно является корнем; если нет, в решении есть ошибка или число не подходит.

Признаки и элементы квадратного уравнения

В таблице сначала проверьте наличие x² и ненулевого коэффициента при нём. Затем сравните запись со стандартным видом и выпишите a, b и c; у отсутствующего слагаемого коэффициент равен нулю.

Разбор задач

Задача 1

Определим, является ли уравнение 3x² − 5x + 2 = 0 квадратным. В нём уже видны все три части стандартной записи. Нужно проверить степень переменной и первый коэффициент.

1. Член с x² есть: это 3x², поэтому a = 3.
2. Член с x имеет вид −5x, значит b = −5.
3. Свободный член равен 2, поэтому c = 2. Так как a = 3 ≠ 0, уравнение является квадратным.

Ответ: да, это квадратное уравнение; a = 3, b = −5, c = 2. Знак минус входит в значение второго коэффициента.

Задача 2

Приведём уравнение 2(x − 1)² = 3x + 5 к стандартному виду. Сначала нужно раскрыть квадрат скобки, затем собрать все слагаемые слева. После приведения подобных станет понятно, чему равны коэффициенты.

1. Раскрываем скобки: 2(x² − 2x + 1) = 3x + 5, то есть 2x² − 4x + 2 = 3x + 5.
2. Переносим правую часть влево: 2x² − 4x + 2 − 3x − 5 = 0.
3. Приводим подобные слагаемые: 2x² − 7x − 3 = 0. Теперь a = 2, b = −7, c = −3.

Ответ: стандартный вид — 2x² − 7x − 3 = 0; коэффициенты равны 2, −7 и −3. При переносе 3x и 5 знаки изменились.

Задача 3

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения x² − 5x + 6 = 0. Для этого заменим x числом 2 во всём равенстве. Одного совпадения слагаемых недостаточно: нужно вычислить значение всей левой части.

1. Подставляем x = 2: 2² − 5 · 2 + 6 = 0.
2. Вычисляем: 4 − 10 + 6 = 0.
3. Левая часть равна правой, потому что обе равны нулю.

Ответ: число 2 является корнем уравнения. Подстановка дала верное равенство.

Типичные ошибки

Ошибка: считать уравнение квадратным только из-за появления x². Иногда коэффициент при x² равен нулю, и этот член фактически отсутствует. Проверяйте не только степень, но и условие a ≠ 0.

Ошибка: неверно находить коэффициенты после переноса слагаемых. При переходе через знак равенства знак слагаемого меняется, поэтому −3x справа превращается в +3x слева. Полезно выполнить перенос отдельной строкой и перечитать каждый знак.

Ошибка: называть свободным членом слагаемое с переменной. Свободный член не содержит x, например 7 в выражении 2x² + 3x + 7. Чтобы проверить себя, найдите часть записи, которая остаётся числом при любом значении x.

Ошибка: проверять корень только по одной части уравнения. Подстановка должна выполняться в исходное равенство целиком, включая все слагаемые и их знаки. Если обе части после вычислений равны, проверка пройдена.

Связь с другими темами

До этой темы нужны свойства степеней, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и перенос слагаемых через знак равенства. Эти действия позволяют преобразовать сложную запись в стандартный вид. Без них легко потерять знак или неправильно определить коэффициенты.

Дальше квадратные уравнения будут решаться с помощью дискриминанта, формул корней и других способов. Для применения этих методов сначала нужно правильно определить a, b и c. Поэтому стандартный вид является отправной точкой решения.

Квадратные уравнения встречаются в текстовых задачах и при исследовании квадратичной функции. Они помогают описывать зависимости, в которых величина меняется не только пропорционально x, но и зависит от x². Связь с функцией делает уравнение полезным инструментом для изучения графиков и практических ситуаций.

Что запомнить

• Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0.
• В квадратном уравнении a ≠ 0.
• Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения.
• Коэффициент a называют первым, b — вторым, c — свободным членом.
• Перед решением уравнение обычно приводят к стандартному виду.
• Корень уравнения превращает равенство в верное.
• Правильность корня проверяют подстановкой в исходное уравнение.