"Алгебра", Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др.
Кубический корень ∛a — это число, которое при возведении в третью степень даёт a. В отличие от квадратного корня, его можно извлечь из любого действительного числа, в том числе отрицательного. Кубический корень помогает решать уравнения, упрощать выражения и изучать обратные функции. Главное — помнить его свойства, следить за знаком подкоренного числа и проверять ответ возведением в куб.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кубический корень из числа — это число, куб которого равен подкоренному числу. Например, кубический корень из 8 равен 2, потому что 2³ = 8. Такое определение помогает найти число, которое было возведено в третью степень.
Знак ∛a обозначает кубический корень из числа a. Число под знаком корня называют подкоренным; в записи ∛a это число a. Знак показывает, что нужно найти значение, куб которого равен a, а не просто возвести a в какую-либо степень.
Извлечение кубического корня — действие, обратное возведению в третью степень. Если известно, что 5³ = 125, то извлечение корня даёт ∛125 = 5. Такое обратное действие позволяет восстановить исходное число и решать уравнения, в которых неизвестное возведено в куб.
Функция y = ∛x сопоставляет каждому действительному числу x его кубический корень. Например, при x = −8 значение y равно −2, а при x = 27 оно равно 3. Понятие функции нужно, чтобы описывать зависимость значений корня от подкоренного числа и изображать её график.
Для любого действительного числа a существует ровно одно число, куб которого равен a. Причина в поведении функции y = x³: при увеличении x значение x³ тоже увеличивается, причём функция возрастает на всей числовой прямой. Её значения не ограничены ни сверху, ни снизу, поэтому она принимает любое действительное значение. Значит, уравнение x³ = a всегда имеет один ответ, а ∛a определён однозначно.
Отрицательное число имеет отрицательный кубический корень, потому что куб отрицательного числа отрицателен: например, (−2)³ = −8. Более того, противоположные числа после возведения в куб остаются противоположными: (−a)³ = −a³, поэтому ∛(−a) = −∛a. Нуль при возведении в куб не меняется, так как 0³ = 0, следовательно, ∛0 = 0. Это объясняет, почему ограничений на знак подкоренного числа нет.
Корень из точного куба находят, вспоминая, какое число было возведено в третью степень. Например, 4³ = 64, значит, ∛64 = 4; аналогично ∛(−125) = −5, потому что (−5)³ = −125. Если не уверен в ответе, возведи найденное число в куб и сравни результат с подкоренным числом. Такая проверка особенно полезна, когда в вычислении есть отрицательные числа.
Корень из произведения можно разделить на произведение корней: ∛(ab) = ∛a · ∛b. Действительно, куб произведения ∛a · ∛b равен a · b, а единственное число с таким кубом — ∛(ab). Для частного действует похожее рассуждение: куб числа ∛a/∛b равен a/b, поэтому ∛(a/b) = ∛a/∛b, если b ≠ 0. Эти свойства помогают выделить из-под корня точный куб, но применяются к произведению и частному, не к сумме.
Графики y = x³ и y = ∛x симметричны относительно прямой y = x. Если точка (a; b) принадлежит графику y = x³, то b = a³, а значит, a = ∛b и точка (b; a) принадлежит графику y = ∛x. Перестановка координат как раз соответствует отражению относительно прямой y = x. Например, точке (2; 8) на первом графике соответствует точка (8; 2) на втором.
Как это устроено
В таблице собраны правила, которые помогают быстро вычислять корни и упрощать выражения. Сначала определи, подходит ли ситуация к нужному правилу: например, есть ли под корнем произведение или точный куб. После преобразования проверь знак и, если возможно, возведи ответ в куб.
| Ситуация | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Кубический корень из нуля | ∛0 = 0 | ∛0 = 0 |
| Кубический корень из точного куба | ∛(a³) = a | ∛((−4)³) = −4 |
| Произведение | ∛(ab) = ∛a · ∛b | ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2 |
| Частное | ∛(a/b) = ∛a / ∛b, b ≠ 0 | ∛(8/125) = 2/5 |
| Знак подкоренного числа | ∛(−a) = −∛a | ∛(−27) = −3 |
В каждом слагаемом под корнем стоит точный куб. Сначала найдём корни отдельно, не забывая, что знак отрицательного числа сохраняется. Затем сложим полученные значения.
Определяем кубический корень из −125: поскольку (−5)³ = −125, получаем ∛(−125) = −5.
Находим второй корень: 2³ = 8, значит, ∛8 = 2.
Подставляем результаты в исходное выражение: −5 + 2 = −3.
Ответ: −3. Проверить оба корня можно возведением значений −5 и 2 в третью степень.
Число 54 само по себе не является точным кубом, но его можно представить как произведение точного куба и оставшегося множителя. Выделение точного куба позволяет применить свойство корня из произведения и извлечь часть корня без приближений.
Разлагаем 54 на множители: 54 = 27 · 2. Выбираем 27, потому что 27 = 3³.
Применяем свойство корня из произведения: ∛54 = ∛(27 · 2) = ∛27 · ∛2.
Извлекаем точный корень: ∛27 = 3, поэтому получаем 3∛2. Корень из 2 оставляем, так как 2 не является точным кубом.
Ответ: 3∛2. Проверка упрощения: куб числа 3∛2 равен 27 · 2 = 54.
Слева выражение 2x − 1 возведено в куб, а справа стоит число −27. Чтобы убрать третью степень, извлечём кубический корень из обеих частей. Это действие сохраняет равенство и приводит к линейному уравнению, которое можно решить обычными преобразованиями.
Извлекаем кубический корень: 2x − 1 = ∛(−27). Так как (−3)³ = −27, получаем 2x − 1 = −3.
Прибавляем 1 к обеим частям: 2x = −2.
Делим обе части на 2: x = −1.
Проверяем подстановкой: (2 · (−1) − 1)³ = (−3)³ = −27. Левая часть совпала с правой.
Ответ: x = −1.
Ошибка: считать, что кубический корень можно извлекать только из неотрицательных чисел. Такое правило переносят с квадратного корня, но при возведении отрицательного числа в куб получается отрицательное число. Проверяй возможность корня возведением подходящего отрицательного значения в третью степень: например, (−3)³ = −27.
Ошибка: записывать ∛(−a) = ∛a. Так теряется знак, потому что кубический корень из отрицательного числа отрицателен. Проверь равенство на a = 8: ∛(−8) = −2, тогда как ∛8 = 2; верная запись — ∛(−a) = −∛a.
Ошибка: путать ∛(a³) с a³ или не проверять ответ. Кубический корень отменяет возведение в третью степень, поэтому ∛(a³) = a, а не a³. Подставь, например, a = 2: ∛8 = 2. Если сомневаешься, возведи результат в куб и сравни с исходным числом.
Ошибка: раскрывать корень из суммы как сумму корней. Свойство произведения на сумму не распространяется: например, ∛(1 + 7) = 2, но ∛1 + ∛7 не равно 2. Проверяй предполагаемое равенство на простых числах и помни, что под знаком корня нельзя разделять слагаемые.
Чтобы уверенно извлекать кубический корень, нужно знать степени с натуральным показателем, особенно куб числа, а также правила умножения и деления. Тема связана с функциями: по графику y = ∛x можно находить значения и видеть связь с графиком y = x³. Кубический корень применяют при решении уравнений третьей степени, когда удаётся выделить выражение в кубе. Позже он поможет понимать степени с дробными показателями.
Почему из отрицательного числа можно извлекать кубический корень?
Куб отрицательного числа тоже отрицателен: например, (−3)³ = −27. Поэтому для любого отрицательного числа найдётся отрицательное число, куб которого ему равен.
Чем кубический корень отличается от квадратного?
Кубический корень определён для любого действительного числа, а квадратный корень в действительных числах — только для неотрицательных. Это связано с тем, что куб может быть отрицательным, а квадрат любого числа неотрицателен.
Можно ли разложить кубический корень из суммы на сумму корней?
Нет, вообще говоря, ∛(a + b) не равно ∛a + ∛b. Например, ∛(1 + 7) = 2, а ∛1 + ∛7 не равно 2. Свойство корня из произведения нельзя применять к сумме.
Как быстро найти кубический корень из числа, которое не является точным кубом?
Точное целое значение обычно найти нельзя, поэтому можно оценить корень между корнями ближайших точных кубов. Например, 8 < 10 < 27, значит 2 < ∛10 < 3. Более точное приближение находят вычислителем или подбором и проверяют возведением результата в куб.
Почему график функции y = ∛x является обратным к графику y = x³?
Если точка (a; b) лежит на графике y = x³, то b = a³. Тогда ∛b = a, и точка (b; a) лежит на графике y = ∛x. При перестановке координат точки отражаются относительно прямой y = x, поэтому графики симметричны.
2.9 Кубический корень
