2.8 Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Определения и обозначения

Квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a: √a ≥ 0 и (√a)² = a. Например, √25 = 5, а число −5 квадратным корнем из 25 не является. Это определение помогает выбирать единственное значение корня.

Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком √. Для действительного квадратного корня оно должно быть неотрицательным: в √(x − 3) требуется x − 3 ≥ 0. Такое условие называют областью допустимых значений и проверяют до преобразований.

Вынесение множителя из-под знака корня — представление корня в виде произведения числа или выражения и оставшегося корня. Например, √72 = 6√2. Приём нужен, чтобы упростить запись и увидеть одинаковые радикальные слагаемые.

Внесение множителя под знак корня — обратное преобразование произведения a√b в один корень √(a²b), если a ≥ 0. Например, 3√5 = √45. Оно позволяет объединять множители и иногда сравнивать выражения в одной форме.

Как это устроено

Свойство √(ab) = √a · √b следует из того, что произведение неотрицательных корней тоже неотрицательно, а его квадрат равен ab. Действительно, (√a · √b)² = ab. Значит, это произведение является тем самым неотрицательным числом, квадрат которого равен ab.

Аналогично, при a ≥ 0 и b > 0 выполняется √(a/b) = √a/√b. Частное определено, неотрицательно, а его квадрат равен a/b. Условие b > 0 нужно потому, что знаменатель корня не может быть равен нулю.

Чтобы вынести множитель, подкоренное выражение раскладывают так, чтобы один множитель был полным квадратом. Например, 72 = 36 · 2, а √36 = 6, поэтому √72 = 6√2. Если квадрат образован переменной, появляется модуль: √(9x²) = 3|x|.

Модуль возникает потому, что √(a²) должен быть неотрицательным, независимо от знака a. Если a = −4, то √(a²) = √16 = 4, а не −4. Поэтому правильная формула всегда такова: √(a²) = |a|; заменить модуль на a можно только при известном условии a ≥ 0.

Обратное действие выполняют для неотрицательного множителя: a√b = √(a²b). После упрощения корней одинаковые радикальные слагаемые складывают как обычные одночлены. При этом нельзя менять область допустимых значений: например, знаменатели не должны обращаться в ноль, а подкоренные выражения — становиться отрицательными.

Основные приёмы преобразования выражений с квадратными корнями

Таблица показывает, какой приём выбрать в конкретной ситуации. Сначала проверьте ОДЗ и упростите каждый корень, затем сравните подкоренные выражения. Внесение множителя и рационализация знаменателя применяются только с учётом знаков и условий.

Разбор задач

Задача 1. Упростить выражение √72

Нужно найти в числе 72 полный квадрат, чтобы его корень можно было вычислить. Наиболее удобное разложение — 72 = 36 · 2. После этого квадратный множитель выйдет за знак корня.

1. Разложим число: √72 = √(36 · 2).
2. Применим свойство корня произведения: √(36 · 2) = √36 · √2.
3. Вычислим √36 = 6 и получим 6√2.

Ответ: 6√2. Дальше упростить результат нельзя, поскольку 2 не является полным квадратом.

Задача 2. Упростить выражение 3√12 − √27 + 2√3

Складывать корни сразу нельзя: сначала их нужно привести к одинаковому виду. Для этого разложим 12 и 27 на произведения с квадратными множителями. Затем выполним действия только с коэффициентами при √3.

1. Упростим первый корень: 3√12 = 3√(4 · 3) = 3 · 2√3 = 6√3.
2. Упростим второй корень: √27 = √(9 · 3) = 3√3.
3. Подставим результаты: 6√3 − 3√3 + 2√3 = (6 − 3 + 2)√3 = 5√3.

Ответ: 5√3. Все три слагаемых стали подобными, поэтому их коэффициенты можно было сложить и вычесть.

Задача 3. Упростить дробь 5/(√3 + 1)

В знаменателе находится сумма с корнем, поэтому применим сопряжённое выражение √3 − 1. Произведение суммы и разности превратится в разность квадратов, и корень исчезнет из знаменателя. Числитель и знаменатель умножаем на одно и то же ненулевое выражение.

1. Умножим дробь на единицу в виде (√3 − 1)/(√3 − 1): 5/(√3 + 1) = 5(√3 − 1)/((√3 + 1)(√3 − 1)).
2. Используем формулу разности квадратов: (√3 + 1)(√3 − 1) = (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2.
3. Получаем 5(√3 − 1)/2.

Ответ: 5(√3 − 1)/2. Знаменатель теперь рациональный, то есть не содержит квадратного корня.

Типичные ошибки

Ошибка: записывают √(a²) = a. Так делают, забывая, что корень неотрицателен, тогда как a может быть отрицательным. Проверка: подставьте отрицательное число; правильная запись √(a²) = |a|.

Ошибка: вносят отрицательный множитель под знак корня без изменения знака всего выражения. Причина — механическое применение правила, которое действует для неотрицательного множителя. Проверка: при a < 0 оставьте минус перед корнем или сначала вынесите его отдельно.

Ошибка: считают, что √(a + b) = √a + √b. Это неверно, потому что квадрат суммы содержит дополнительное слагаемое 2√(ab). Проверка: возьмите a = b = 1: √2 не равно 2.

Ошибка: складывают корни с разными подкоренными выражениями. Обычно забывают сначала вынести полные квадраты. Проверка: упростите каждый корень и складывайте только одинаковые радикальные части.

Связь с другими темами

Перед преобразованиями нужны свойства степеней, разложение на множители, формулы сокращённого умножения и действия с дробями. Эти навыки объясняют появление квадратов, разности квадратов и общий знаменатель.

Преобразования корней применяются при решении уравнений и неравенств, где нужно упростить обе части и учитывать ОДЗ. Они также помогают вычислять значения выражений, доказывать тождества и устранять иррациональность в знаменателе.

Что запомнить

• Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
• √(a²) = |a|.
• Полный квадрат под корнем можно вынести за знак корня.
• Неотрицательный множитель можно внести под знак корня, возведя его в квадрат.
• Корень из произведения равен произведению корней при неотрицательных множителях.
• Складывать и вычитать можно только подобные радикальные слагаемые.
• Тождественные преобразования не должны нарушать область допустимых значений.