19. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Определения и обозначения

Вынесение множителя из-под знака квадратного корня — представление подкоренного выражения в виде произведения полного квадрата и другого множителя, чтобы извлечь корень из полного квадрата. Например, вместо √(9 · 2) можно записать 3√2. Это нужно, чтобы упростить запись и обнаружить корни, которые можно складывать или вычитать.

Внесение множителя под знак квадратного корня — замена множителя перед корнем равным выражением под корнем с учётом знака множителя. Например, 3√5 = √45, потому что 3 неотрицательно и его можно заменить на √9. Такой приём позволяет объединять множители и корни, когда это удобно для дальнейших вычислений.

Преобразование выражения с квадратными корнями — замена выражения равным ему выражением, которое проще вычислить или упростить. При этом значение выражения не меняется, хотя его вид становится другим. Чтобы преобразование было правильным, нужно соблюдать условия для корней и не терять знак выражения.

Как это устроено

Чтобы вынести множитель из-под корня, подкоренное число представляют как произведение полного квадрата и оставшегося множителя. Это работает потому, что квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению их квадратных корней. Например, 72 = 36 · 2, поэтому √72 = √36 · √2 = 6√2. Полный квадрат выбирают так, чтобы извлечь из него корень без остатка.

При вынесении множителя из корня чётной степени нужно учитывать, что арифметический корень неотрицателен. Числа a и −a имеют один и тот же квадрат, поэтому √(a²) равен числу |a|, которое неотрицательно, а не обязательно самому a. Например, при a = −4 получаем √(a²) = √16 = 4. Если заранее известно, что a ≥ 0, тогда |a| = a и можно записать √(a²) = a.

Внести множитель под корень можно по формуле a√b = √(a²b), когда a ≥ 0 и b ≥ 0. Причина в том, что a = √(a²) для неотрицательного a, после чего два корня можно объединить. Если множитель отрицателен, его знак нельзя потерять: например, −3√5 = −√45, а не √45. Подкоренное выражение при таком преобразовании также должно оставаться неотрицательным.

Для произведения корней используют правило √a · √b = √(ab), если a ≥ 0 и b ≥ 0: оба корня существуют, а произведение их значений неотрицательно и при возведении в квадрат даёт ab. Для частного действует правило √a / √b = √(a/b), если a ≥ 0, b ≥ 0 и b ≠ 0. Условие b ≠ 0 необходимо, потому что делить на ноль нельзя. Перед применением любого правила проверь, что подкоренные выражения допустимы.

Складывать и вычитать можно только подобные корни — такие, у которых после упрощения одинаковое подкоренное выражение. Например, 2√3 + 5√3 = 7√3, поскольку складываются коэффициенты при одном и том же √3. Корни √8 и √2 сначала упрощают: √8 = 2√2, и только тогда их можно объединить. Если подкоренные выражения различны и корни нельзя упростить до одинаковых, оставляют сумму или разность без объединения.

Основные преобразования выражений с квадратными корнями

Сначала выбери строку, подходящую к выражению, а затем проверь все условия из последнего столбца. Если условия не выполнены, формулу нельзя применять в таком виде. Для сложения и вычитания сначала упрости каждый корень и только после этого сравни подкоренные выражения.

Разбор задач

Упростите выражение √72.

Нужно найти в числе 72 наибольший удобный полный квадрат, чтобы часть корня можно было извлечь. Число 72 делится на 36, а 36 — полный квадрат, поскольку 36 = 6². Оставшийся множитель 2 остаётся под корнем.

1. Разложим подкоренное число: 72 = 36 · 2.
2. Применим правило корня из произведения: √72 = √36 · √2.
3. Извлечём корень из полного квадрата: √36 = 6, значит √72 = 6√2.

Ответ: 6√2. Проверка: (6√2)² = 36 · 2 = 72, а значение выражения положительно. Значит, полученная запись соответствует исходному корню.

Представьте выражение 3√5 под знаком квадратного корня.

Множитель перед корнем равен 3 и неотрицателен, поэтому его можно внести под корень, заменив на корень из его квадрата. Подкоренное число 5 тоже неотрицательно, так что условия правила соблюдены. После внесения множителя получим один корень вместо произведения числа и корня.

1. Запишем 3 как √(3²), поскольку 3 ≥ 0.
2. Объединим корни: 3√5 = √(3²) · √5 = √(9 · 5).
3. Вычислим произведение под корнем: √(9 · 5) = √45.

Ответ: √45. Проверка: √45 = √(9 · 5) = 3√5, то есть полученное выражение равно исходному. Число 45 можно разложить и дальше, но здесь требуется именно представить выражение под знаком корня.

Упростите выражение 2√12 − √27 + √3.

Перед сложением корней нужно выяснить, можно ли привести их к одному подкоренному выражению. Разложим 12 и 27 на произведения, где один множитель — полный квадрат. После извлечения корней все три слагаемых окажутся кратными √3, и тогда останется вычислить коэффициенты с учётом знаков.

1. Упростим первый корень: 2√12 = 2√(4 · 3) = 2 · 2√3 = 4√3.
2. Упростим второй корень: √27 = √(9 · 3) = 3√3, поэтому выражение принимает вид 4√3 − 3√3 + √3.
3. Сложим коэффициенты при √3: (4 − 3 + 1)√3 = 2√3.

Ответ: 2√3. Проверка: все слагаемые после упрощения имеют один и тот же корень √3, поэтому их коэффициенты можно складывать и вычитать. Знак перед 3√3 сохраняется как минус.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что √(a²) = a при любом a. Так рассуждают, потому что квадрат числа неотрицателен, но забывают, что арифметический корень также всегда неотрицателен. Проверь равенство на отрицательном числе: при a = −3 корень из a² равен 3. Поэтому правильная запись — √(a²) = |a|.

Ошибка: внести отрицательный множитель под корень и убрать минус. Это происходит, когда формулу для неотрицательного множителя применяют без проверки знака. Например, −2√3 не равно √12, а равно −√12. Проверь результат по знаку: исходное выражение отрицательно, значит и равное ему выражение должно быть отрицательным.

Ошибка: складывать корни с разными подкоренными выражениями, например записывать √2 + √3 как √5. Такое правило ошибочно: корень из суммы не равен сумме корней. Сначала упрости каждый корень и проверь, стали ли подкоренные выражения одинаковыми. Если нет, складывать коэффициенты нельзя.

Ошибка: умножать или делить корни по правилу, не проверив его условия. Корень из отрицательного числа в рассматриваемом курсе не определён, а деление на ноль невозможно. Перед преобразованием проверь, что подкоренные выражения неотрицательны, а при делении подкоренное выражение в знаменателе положительно. Такая проверка помогает не получить выражение, которое не имеет смысла.

Связь с другими темами

Для преобразования корней понадобятся определение арифметического квадратного корня и свойства степеней: разложение числа на множители помогает выделить полный квадрат. Эти знания пригодятся при решении уравнений и неравенств, где выражения с корнями нужно упростить или сравнить. Они также помогают преобразовывать алгебраические дроби и вычислять значения выражений. Поэтому перед упрощением полезно проверить разложение подкоренных чисел и условия существования корней.

Что запомнить

• Из-под корня выносят множители, являющиеся полными квадратами.
• √(a²) = |a|.
• Неотрицательный множитель a можно внести под корень: a√b = √(a²b).
• Произведение корней можно объединить под одним корнем при неотрицательных подкоренных выражениях.
• При делении корней знаменатель не должен быть равен нулю.
• Складывать и вычитать можно только подобные корни.