"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Вынесение множителя из-под корня и внесение множителя под корень — преобразования, которые помогают упрощать выражения с квадратными корнями. Чтобы вынести множитель, выделяют под корнем полный квадрат и извлекают из него корень; при этом для переменной появляется модуль. Чтобы внести множитель, его возводят в квадрат и объединяют с подкоренным выражением. Знак множителя и допустимость корня в действительных числах нужно проверять каждый раз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из произведения неотрицательных чисел — это корень, который можно представить как произведение корней множителей: при a ≥ 0 и b ≥ 0 выполняется √(ab) = √a · √b. Например, √(9 · 4) = √9 · √4 = 6. Это свойство позволяет разложить подкоренное выражение на части и упростить каждую из них отдельно.
Вынесение множителя из-под знака корня — преобразование, при котором корень из квадрата множителя записывают перед знаком корня: √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0. Вертикальные черты обозначают модуль числа, то есть его расстояние от нуля; модуль не бывает отрицательным. Это правило помогает сократить подкоренное выражение, но требует учитывать знак вынесенного множителя.
Внесение множителя под знак корня — обратное преобразование: неотрицательный множитель возводят в квадрат и объединяют с подкоренным выражением. При a ≥ 0 и b ≥ 0 получаем a√b = √(a²b). Так можно, например, записать выражения в похожем виде, чтобы сравнить их или выполнить вычисления.
Полный квадратный множитель — множитель подкоренного выражения, который является квадратом числа или выражения. Например, 36 и x² — полные квадраты, потому что 36 = 6², а x² уже записан как квадрат. Такой множитель удобен тем, что корень из него извлекается: √36 = 6, √(x²) = |x|.
Чтобы вынести множитель, сначала ищут в подкоренном выражении квадрат. Если под корнем стоит произведение a²b, то по свойству корня его можно представить как √(a²) · √b, когда оба множителя неотрицательны. Корень из a² равен |a|, поэтому получается |a|√b. Вынесение не меняет значение выражения: оно лишь записывает извлекаемую часть вне корня.
Модуль появляется потому, что арифметический корень по определению неотрицателен, а число a может быть отрицательным. Например, если a = −5, то √(a²) = √25 = 5, тогда как само a равно −5. Значит, верное общее равенство — √(a²) = |a|. Заменить |a| на a можно только при условии a ≥ 0; при a < 0 модуль равен −a.
Для обратного преобразования неотрицательный множитель a можно записать как √(a²), поскольку √(a²) = |a| = a. Тогда произведение корней объединяется по свойству корня из произведения: a√b = √(a²)√b = √(a²b). Возведение множителя в квадрат нужно, чтобы после перехода под корень его значение не изменилось. Если множитель отрицательный, сначала отделяют минус: −a√b = −√(a²b) при a ≥ 0.
Все правила здесь относятся к действительным числам, поэтому выражение под каждым корнем должно быть неотрицательным. При разложении произведения нельзя применять правило √(ab) = √a · √b, если один из множителей отрицателен: корень из такого множителя в действительных числах не определён. При внесении под корень сам вносимый множитель тоже должен быть неотрицательным. Отрицательное число оставляют перед корнем, а под знак корня вносят его модуль.
Выбор преобразования зависит от цели. Для упрощения корня разложи подкоренное выражение на множители и найди полные квадраты: например, вместо того чтобы искать корень из 72 целиком, удобно выделить 36. Для сравнения выражений иногда полезно внести неотрицательный множитель под корень, чтобы получить один корень и сопоставить подкоренные числа. После любого преобразования проверь знаки множителей и допустимость выражения.
В таблице собраны правила для четырёх ситуаций. Сначала проверь условие в нужной строке, затем выбери преобразование и обрати внимание на знак. Если множитель отрицателен, не убирай его знак при переходе под корень.
| Преобразование | Условие | Правило | Пример |
|---|---|---|---|
| Вынесение числового множителя | Подкоренное выражение неотрицательно | √(a²b) = a√b при a ≥ 0, b ≥ 0 | √72 = √(36 · 2) = 6√2 |
| Вынесение множителя-переменной | b ≥ 0; знак переменной учитывается | √(a²b) = |a|√b | √(x² · 3) = |x|√3 |
| Внесение неотрицательного множителя | a ≥ 0, b ≥ 0 | a√b = √(a²b) | 4√3 = √48 |
| Преобразование с отрицательным множителем | Множитель отрицателен, b ≥ 0 | −a√b = −√(a²b) при a ≥ 0 | −3√5 = −√45 |
Задача 1. Упростите √72. Нужно найти в разложении числа 72 множитель, который является полным квадратом. Подойдёт 36: его корень извлекается без остатка, а множитель 2 останется под знаком корня. Все числа здесь неотрицательны, поэтому правило произведения корней применимо.
Ответ: 6√2.
Задача 2. Упростите √(12a²), если a < 0. В числе 12 выделим квадрат 4, а переменную часть запишем как a². После вынесения √(a²) даст модуль |a|, а не просто a. Условие a < 0 позволяет заменить модуль на противоположное число −a.
Ответ: −2a√3.
Задача 3. Внесите множитель под знак корня: −3√5. Если внести −3 целиком, знак исходного выражения потеряется: квадрат отрицательного числа положителен. Поэтому отделяем минус, а под корень вносим положительный множитель 3, возведённый в квадрат. Подкоренное выражение 45 неотрицательно, значит, преобразование допустимо.
Ответ: −√45.
Ошибка: записывать √(a²) = a без условия a ≥ 0. Так поступают, забывая, что арифметический корень неотрицателен: при a = −2 корень из a² равен 2, а не −2. Проверяй знак переменной; в общем случае пиши |a|, а затем раскрывай модуль по условию.
Ошибка: вносить отрицательный множитель под корень без сохранения минуса. Например, запись −3√5 = √45 неверна, потому что левая часть отрицательна, а правая положительна. При проверке сравни знаки выражений; правильно: −3√5 = −√45.
Ошибка: при вынесении множителя возводить его в квадрат вместо извлечения корня. Например, из √(9 · 2) нельзя получить 9√2: корень из 9 равен 3, поэтому результат — 3√2. Проверь преобразование обратным действием: возведи вынесенный множитель в квадрат и сопоставь с исходным подкоренным выражением.
Ошибка: применять правило корня из произведения, если один множитель отрицателен. Такое преобразование используют для неотрицательных множителей, иначе отдельный корень может быть не определён в действительных числах. Перед разложением проверь знаки частей произведения и убедись, что под каждым корнем стоит неотрицательное выражение.
Для работы с корнями нужно знать определение арифметического квадратного корня: он неотрицателен, а его квадрат равен подкоренному числу. Также понадобится свойство корня из произведения, которое позволяет разделять подкоренное выражение на множители. Без этих правил нельзя обосновать ни вынесение, ни внесение множителя.
Преобразования опираются на разложение чисел и выражений на множители. Умение распознавать полный квадрат помогает находить части, корень из которых извлекается, а знание модуля — правильно работать с переменными любого знака. Поэтому полезно сначала определить, какие множители можно сгруппировать в квадрат.
Упрощённая запись корней пригодится при вычислениях и сравнении чисел. Такие преобразования также встречаются в выражениях, которые используются при решении уравнений. Проверка знаков и допустимости корня остаётся необходимой на каждом шаге.
Почему при вынесении множителя из √(a²) появляется модуль?
Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому √(a²) равно не обязательно a, а |a|: например, при a = −4 корень из a² равен 4. Записать вместо модуля a можно, только если известно, что a ≥ 0.
Можно ли вынести множитель из-под корня, если он отрицательный?
Из корня выносится неотрицательное значение: √(a²) = |a|. Если множитель связан с переменной, сначала учитывают её знак, а при a < 0 заменяют |a| на −a. Нельзя просто записать отрицательное a вместо корня из a².
Как понять, какой множитель нужно выделить под корнем?
Разложи подкоренное выражение на множители и найди среди них полный квадрат — квадрат числа или выражения. Его корень можно вынести, а оставшуюся часть оставить под знаком корня. Например, в 72 = 36 · 2 удобно выделить 36.
Почему при внесении множителя под корень его нужно возвести в квадрат?
Под корень можно внести неотрицательный множитель, представив его как корень из квадрата: a = √(a²) при a ≥ 0. Тогда по свойству корня из произведения a√b = √(a²b). Квадрат сохраняет значение множителя после перехода под корень.
Можно ли вносить под корень отрицательное число?
Отрицательное число нельзя внести под знак арифметического квадратного корня, сохранив значение выражения. Например, −3√5 = −√45: минус остаётся перед корнем, а под него вносят модуль множителя. Подкоренное выражение при этом должно быть неотрицательным.
18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня
