§ 7. Применение свойств арифметического квадратного корня

Определения и обозначения

Вынесение множителя из-под корня — это представление подкоренного выражения как произведения полного квадрата и другого множителя, чтобы извлечь корень из квадрата. Например, в √72 можно выделить 36 и получить 6√2. Так выражение становится проще для вычислений.

Внесение множителя под знак корня — замена произведения числа и корня одним корнем произведения подкоренных выражений с учётом знака множителя. Например, 3√5 можно записать как √45. Приём удобен, когда выражения нужно сравнить или представить в одинаковом виде.

Преобразование дроби с корнем в знаменателе — получение равной дроби, у которой в знаменателе корня нет. Для этого используют свойства корня и умножают числитель и знаменатель на подходящий множитель. Так проще выполнять дальнейшие действия с дробью.

Сравнение арифметических квадратных корней — установление, какой из корней больше, по значениям подкоренных выражений. Если оба подкоренных числа неотрицательны, большему из них соответствует больший корень. Это позволяет сравнивать корни, не вычисляя их десятичные значения.

Как это устроено

Чтобы вынести множитель из-под корня, подкоренное число раскладывают так, чтобы один из множителей был полным квадратом. Это полезно потому, что корень произведения равен произведению корней, когда подкоренные выражения неотрицательны: √(36 · 2) = √36 · √2. Из √36 получается 6, поэтому √72 = 6√2. Если полного квадрата не выделить, упростить выражение таким способом не получится.

При работе с квадратами нужно помнить, что арифметический корень не бывает отрицательным. Поэтому √(a²) = |a|: если a отрицательно, корень равен числу, противоположному a. Например, √((-4)²) = 4, а не −4. Знак вынесенного множителя зависит от исходного выражения, а не от того, что под корнем стоит квадрат.

Неотрицательный множитель c можно внести под корень, если возвести его в квадрат: c√b = √(c²b) при c ≥ 0 и b ≥ 0. Причина в том, что √(c²) = c, поэтому после раскрытия корня значение сохраняется. Например, 3√5 = √(9 · 5) = √45. Если внести только число 3, не возведя его в квадрат, равенство нарушится.

Отрицательный множитель нельзя перенести под корень как положительное число и при этом оставить выражение без изменений: арифметический корень даёт неотрицательное значение. Сначала выделяют знак минус, а под корень вносят модуль множителя: −3√5 = −√45. Минус остаётся перед корнем и сохраняет отрицательный знак всего выражения. Это правило также помогает не получить корень из отрицательного числа.

Чтобы преобразовать дробь с корнем в знаменателе, числитель и знаменатель умножают на один и тот же подходящий множитель, то есть на дробь, равную единице. Например, для 4/√3 таким множителем служит √3/√3: в знаменателе возникает √9 = 3. Равенство дроби сохраняется, потому что числитель и знаменатель умножены на одно и то же ненулевое число. До и после преобразования проверяют, что знаменатель не равен нулю, а корни определены.

Основные преобразования выражений с арифметическим квадратным корнем

Выберите в таблице нужное преобразование и сначала проверьте его условия. Затем выполните действие и убедитесь, что не изменили знак выражения или не допустили нулевой знаменатель. Таблица помогает подобрать приём, но не заменяет проверку области допустимых значений.

Разбор задач

Упростите выражение √72.

1. Ищем в разложении числа 72 наибольший удобный полный квадрат: 72 = 36 · 2.
2. Применяем свойство корня из произведения: √72 = √36 · √2.
3. Извлекаем корень из полного квадрата: √36 = 6, значит, √72 = 6√2.

Мы выделили 36, потому что его корень извлекается точно, а оставшееся число 2 уже не содержит множителя, являющегося квадратом целого числа. Ответ: 6√2.

Упростите выражение 3√5 − √45.

1. Во втором корне выделяем полный квадрат: 45 = 9 · 5, поэтому √45 = 3√5.
2. Подставляем результат в исходное выражение: 3√5 − 3√5.
3. Вычитаем одинаковые слагаемые: 3√5 − 3√5 = 0.

Сначала нужно привести корни к одинаковому виду: вычитать можно только подобные слагаемые, то есть с одинаковой корневой частью. Ответ: 0.

Преобразуйте выражение 4/√3 так, чтобы в знаменателе не было корня, и сравните полученное число с 2.

1. Умножаем дробь на √3/√3: 4/√3 = 4√3/3, поскольку √3/√3 = 1.
2. Оба сравниваемых числа неотрицательны, поэтому можно сравнить их квадраты.
3. (4√3/3)² = 16/3, а 2² = 4. Так как 16/3 > 4, то 4√3/3 > 2.

Умножение на √3/√3 не меняет значение дроби и превращает знаменатель в число 3. При сравнении квадратов знак сохраняется, поскольку сравниваемые числа неотрицательны. Ответ: 4/√3 = 4√3/3, и полученное число больше 2.

Типичные ошибки

• Считают, что √(a²) = a при любом a. Так происходит, если забыть, что арифметический корень неотрицателен; при a < 0 результат окажется с неверным знаком. Проверьте формулу на a = −2: √((-2)²) = 2 = |−2|.
• Вносят отрицательный множитель под корень без выделения минуса. Тогда знак выражения может измениться или появится корень из отрицательного числа; ошибку допускают, перенося правило для положительных чисел на отрицательные. Сохраните знак отдельно: −2√3 = −√12.
• При внесении множителя умножают подкоренное выражение на сам множитель, а не на его квадрат. Например, 3√5 — это √45, а не √15, поскольку нужно сохранить значение выражения. Проверяйте преобразование, возводя результат в квадрат или приблизительно вычисляя обе части.
• Преобразуют дробь, не проверив знаменатель и допустимость корней. Тогда можно разделить на ноль или записать несуществующий корень; обычно об этом забывают, сосредоточившись на преобразовании. Подставьте ограничения: знаменатель исходной дроби должен быть ненулевым, а подкоренное выражение — неотрицательным.

Связь с другими темами

Для преобразований нужны определение арифметического квадратного корня и свойства корня из произведения и дроби. Полезно также знать формулы квадрата суммы и произведения: с их помощью распознают полные квадраты и раскладывают выражения на множители. Перед вычислениями проверяют, какие значения переменных допустимы.

Эти приёмы применяют, чтобы упрощать выражения и находить их значения, сравнивать числа и решать уравнения с квадратными корнями. Умение убирать корень из знаменателя делает дроби удобнее для дальнейших действий. А вынесение полных квадратов часто позволяет заметить одинаковые слагаемые и сократить вычисления.

Что запомнить

• √(a²) = |a|, а не всегда a.
• Из-под знака корня выносят множители, являющиеся полными квадратами.
• При внесении множителя под корень его возводят в квадрат.
• Отрицательный множитель сохраняет знак минус вне корня.
• Свойства арифметического квадратного корня применяют только при допустимых значениях подкоренных выражений.
• После преобразования дроби проверяют, что её знаменатель не равен нулю.