17. Квадратный корень из степени

Определения и обозначения

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9; число −3 тоже возводится в квадрат в 9, но арифметическим корнем не является. Это определение помогает сразу учитывать знак ответа: арифметический корень не бывает отрицательным.

Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на числовой прямой, поэтому он неотрицателен. Если число неотрицательное, то |a| = a, а если отрицательное, то |a| = −a: например, |−5| = 5. Модуль нужен, чтобы записывать неотрицательную величину, не зная заранее, положительно число или отрицательно.

Корень из квадрата числа выражается формулой √(a²) = |a|. Числа a и −a имеют одинаковый квадрат, но корень выбирает неотрицательное из них. Поэтому нельзя всегда писать √(a²) = a: если a < 0, результатом будет −a, а не a.

Для чётной степени действует обобщённая формула √(a^(2n)) = |a^n|, где n — натуральное число. Она получается из того, что a^(2n) можно записать как (a^n)². Правило позволяет извлекать корень из четвёртой, шестой и других чётных степеней, сохраняя правильный знак ответа.

Как это устроено

По определению √(a²) должен быть неотрицательным числом, квадрат которого равен a². Квадрат a² неотрицателен при любом действительном a, поэтому корень существует. Но условие о неотрицательности результата существенно: оно не позволяет выбрать отрицательное число, даже если его квадрат тоже равен a².

При возведении в квадрат числа a и −a дают один результат: a² = (−a)². Из двух чисел a и −a одно неотрицательно или оба равны нулю, и именно его выбирает арифметический корень. Это число и обозначается |a|: модуль сохраняет неотрицательные числа и меняет знак отрицательных на противоположный. Так получается формула √(a²) = |a|.

Рассмотрим два случая. Если a ≥ 0, то |a| = a, значит √(a²) = a; например, √(4²) = 4. Если a < 0, то |a| = −a, поэтому √(a²) = −a; например, √((−4)²) = 4. Следовательно, равенство корня числу a без модуля допустимо только при условии a ≥ 0.

Чётную степень можно преобразовать в квадрат: a^(2n) = (a^n)². Теперь вместо выражения a^n применим формулу √(x²) = |x|, где x = a^n, и получим √(a^(2n)) = |a^n|. Например, √(a⁶) = |a³|: если a отрицательно, куб a тоже отрицателен, поэтому модуль здесь необходим. Для четвёртой степени выходит √(a⁴) = |a²| = a², поскольку квадрат неотрицателен.

Если под корнем находится квадрат выражения, сначала запишите результат через модуль: √(B²) = |B|. Убирать черты можно только после того, как определён знак B. Например, для B = 3x − 6 знак зависит от x: при x ≥ 2 выражение неотрицательно, а при x < 2 отрицательно. Если условие о переменной ничего не сообщает, безопасная и точная запись — оставить модуль.

Корень из квадрата и чётной степени

Сначала найдите, является ли подкоренное выражение квадратом, а затем примените соответствующую строку таблицы. Если под корнем степень a^(2n), возьмите половину показателя, но поставьте модуль вокруг полученного выражения. Раскрывайте модуль лишь тогда, когда знак выражения известен.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите √((-7)²). Под корнем стоит квадрат отрицательного числа, поэтому полезно сначала применить формулу, а не пытаться извлечь корень, сохраняя знак числа. Арифметический корень должен быть неотрицательным.

1. Используем формулу √(a²) = |a|, где a = −7.
2. Получаем |−7|; модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
3. Вычисляем |−7| = 7.

Ответ: 7. Проверка: 7² = 49, а (−7)² тоже равно 49, но из двух чисел корнем выбирается неотрицательное.

Задача 2. Упростите √(x⁴). Чтобы применить формулу корня из квадрата, представим четвёртую степень как квадрат выражения. После извлечения корня проверим, можно ли убрать модуль.

1. Записываем x⁴ = (x²)².
2. По формуле √(a²) = |a| получаем √((x²)²) = |x²|.
3. Так как x² ≥ 0 при любом действительном x, имеем |x²| = x².

Ответ: x². Здесь модуль исчезает не просто потому, что показатель степени чётный, а потому, что выражение x² заведомо неотрицательно.

Задача 3. Упростите √((3x − 6)²) и найдите значение при x = 1. Сначала нельзя убирать модуль: знак выражения 3x − 6 зависит от x. Поэтому сначала запишем общий результат, а затем подставим заданное значение.

1. Применяем формулу к выражению в скобках: √((3x − 6)²) = |3x − 6|.
2. Подставляем x = 1: |3 · 1 − 6| = |−3|.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному: |−3| = 3.

Ответ: √((3x − 6)²) = |3x − 6|; при x = 1 значение равно 3. Проверить раскрытие модуля в этой точке можно по знаку выражения: 3 · 1 − 6 = −3.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать √(a²) = a без условия a ≥ 0. Так делают, забывая, что переменная может быть отрицательной, а арифметический корень неотрицателен. Проверьте себя на a = −2: левая часть равна 2, поэтому запись без модуля неверна.

Ошибка: считать, что √(a²) = ±a. Знак ± появляется, когда ищут все решения уравнения x² = a², а знак корня обозначает только арифметический корень. Для проверки сравните задачи: корень √9 равен 3, тогда как уравнение x² = 9 имеет решения 3 и −3.

Ошибка: убирать модуль из |a|, не выяснив знак a. Часто выражение кажется положительным из-за отсутствия видимого минуса, хотя знак переменной неизвестен. Подставьте отрицательное значение: если оно меняет результат, модуль оставлять необходимо.

Ошибка: заменять √(a^(2n)) на a^n без модуля. Причина та же: a^n может оказаться отрицательным, когда n нечётно и a < 0. Например, при n = 3 и a = −2 корень равен 8, а a³ = −8; проверьте знак полученного выражения или оставьте |a^n|.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение арифметического квадратного корня, правила действий со степенями и понятие модуля. Свойство a^(2n) = (a^n)² связывает работу со степенью с извлечением корня, а модуль помогает учесть знак результата. Формула пригодится при упрощении выражений с корнями и степенями. Она также помогает понимать уравнения вида x² = b: при b > 0 у такого уравнения два решения, но символ √b обозначает только неотрицательное из них.

Что запомнить

• Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
• √(a²) = |a| для любого действительного a.
• √(a²) = a только при a ≥ 0.
• Если a < 0, то √(a²) = −a.
• √(a^(2n)) = |a^n|.
• Модуль можно убрать только после определения знака выражения под ним.