"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, а корень из дроби — частному корней при положительном знаменателе. Эти правила помогают упрощать выражения и выбирать удобный способ вычислений. Перед преобразованием нужно проверить, что подкоренные числа неотрицательны, а знаменатель дроби не равен нулю. На сумму и разность такие правила не распространяются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из числа x — это неотрицательное число, квадрат которого равен x. Его обозначают √x, причём подкоренное число должно быть неотрицательным: x ≥ 0. Например, √25 = 5, а не −5, потому что арифметический корень по определению неотрицателен. Это определение нужно, чтобы понимать, когда выражение с корнем существует и какое именно значение оно имеет.
Корень из произведения — правило для неотрицательных чисел a и b: √(ab) = √a · √b. Здесь оба числа должны быть неотрицательными, чтобы корни √a и √b были определены. Равенство позволяет заменить один корень произведением двух корней, если такой вид удобнее для вычисления. Например, число под корнем можно разложить на множители, корни из которых известны.
Корень из дроби — правило √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0 и b > 0. Числитель может быть нулём, но знаменатель должен быть строго положительным. Тогда корни числителя и знаменателя существуют, а деление на √b допустимо. Это правило помогает упростить корень из дроби, рассматривая отдельно её числитель и знаменатель.
Чтобы обосновать правило корня из произведения, проверим, является ли √a · √b арифметическим корнем из ab. При a ≥ 0 и b ≥ 0 оба множителя неотрицательны, поэтому и их произведение неотрицательно. Возведём его в квадрат: (√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = ab. Значит, произведение удовлетворяет сразу двум условиям определения: оно неотрицательно и его квадрат равен ab. Поэтому √(ab) = √a · √b.
Для дроби рассуждение похожее, но сначала нужно убедиться, что деление возможно. Если b > 0, то √b > 0, поэтому частное √a/√b имеет ненулевой знаменатель. Квадрат этого частного равен (√a/√b)² = a/b. При a ≥ 0 частное корней неотрицательно, следовательно, оно и есть арифметический квадратный корень из a/b. Так получаем формулу √(a/b) = √a/√b.
Условия в формулах связаны с определением корня и правилами действий с дробями. Если один из множителей отрицателен, то соответствующий арифметический корень не определён в действительных числах, и рассуждение через произведение корней выполнить нельзя. В дроби знаменатель не может быть нулём, поскольку деление на ноль не определено; условие b > 0 заодно гарантирует, что √b не станет нулём. Поэтому условия проверяют до преобразования, а не после него.
Правила полезны, когда подкоренное число можно представить как произведение или частное с удобными значениями. Например, 72 = 36 · 2, поэтому √72 = √36 · √2 = 6√2. Для дроби можно сначала вычислить частное под корнем или разделить корень на корни: если это законно и удобно, оба способа дадут тот же результат. Выбирай разложение, в котором появляются полные квадраты — числа вроде 4, 9, 25, корни из которых находятся сразу.
Нельзя переносить эти правила на сумму и разность. Корень из суммы обычно не равен сумме корней: например, √(9 + 16) = 5, тогда как √9 + √16 = 8. Для разности также нет общего правила, позволяющего отдельно извлекать корень из каждого слагаемого. Разделение корня допустимо именно для произведения и дроби при выполнении указанных условий.
| Случай | Условия | Правило | Пример |
|---|---|---|---|
| Корень из произведения | a ≥ 0, b ≥ 0 | √(ab) = √a · √b | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| Корень из дроби | a ≥ 0, b > 0 | √(a/b) = √a/√b | √(36/4) = 6/2 = 3 |
| Проверка условий применимости | Подкоренные числа неотрицательны; знаменатель положителен | Проверить область допустимых значений до преобразования | Для √(5/0) правило неприменимо: делить на ноль нельзя |
Сначала найди нужную строку по виду выражения: произведение или дробь. Затем проверь условия, и только после этого используй формулу. Если условия не выполнены, нельзя считать, что преобразование допустимо.
Задача 1. Вычислите √(4 · 25). Под корнем записано произведение двух неотрицательных чисел, поэтому можно применить правило корня из произведения. Это удобно, потому что корни из обоих множителей находятся без вычислений столбиком.
Ответ: 10.
Задача 2. Упростите √(72/2). Здесь под корнем находится дробь с положительным знаменателем. Можно сразу вычислить подкоренное выражение: 72/2 = 36, что даёт простой корень. Проверка знаменателя подтверждает, что дробь определена и корень можно рассматривать.
Ответ: 6.
Задача 3. Упростите √(12 · 27/3), используя свойства квадратного корня. Представим выражение под корнем как произведение и дробь: √(12 · (27/3)). Сначала упростим дробь 27/3, а затем разложим произведение на множители так, чтобы выделить полный квадрат. Такой путь сокращает вычисления и помогает не потерять условия применимости формул.
Ответ: 6√3.
Первая ошибка — применять правило для произведения, не проверив множители. Если под множителем стоит отрицательное число, его арифметический квадратный корень в действительных числах не определён, поэтому записанное разложение может быть бессмысленным. Такую ошибку допускают, когда запоминают формулу без условий. Перед преобразованием проверь, что каждый множитель неотрицателен.
Вторая ошибка — использовать правило для дроби при нулевом или отрицательном знаменателе. При нуле дробь не определена, а при отрицательном значении условие b > 0 нарушено. Чтобы проверить себя, сначала отдельно посмотри на знаменатель: он должен быть положительным. Третья ошибка — раскрывать корень из суммы или разности по аналогии с произведением. Проверка на простых числах, например 9 и 16, сразу показывает, что √(9 + 16) не равно √9 + √16.
Четвёртая ошибка — забывать, что арифметический корень неотрицателен, и приписывать ему произвольный знак. Например, √25 = 5, хотя уравнение x² = 25 имеет два решения: 5 и −5. Их не следует путать: символ √ обозначает именно арифметический корень. После вычисления проверь знак ответа и возведи результат в квадрат.
Для работы с правилами нужно знать определение арифметического квадратного корня и условие его существования, а также таблицу квадратов чисел. Понадобятся навыки действий с обыкновенными дробями и разложения чисел на множители. Эти умения уже помогают упрощать выражения с корнями, а позже пригодятся при преобразовании дробей и решении уравнений с квадратными корнями. Удобное разложение часто превращает громоздкое выражение в короткое вычисление.
Почему квадратный корень из произведения можно представить произведением корней?
Если a и b неотрицательны, то √a и √b тоже неотрицательны. Квадрат их произведения равен (√a · √b)² = ab, значит, это неотрицательный квадратный корень из ab.
Какие условия нужны, чтобы вынести корень из дроби?
Для равенства √(a/b) = √a/√b нужно, чтобы a ≥ 0 и b > 0. Тогда оба корня существуют, а знаменатель √b не равен нулю.
Можно ли применить правило корня из дроби, если знаменатель равен нулю?
Нет. Деление на ноль не определено, поэтому дробь a/b не существует при b = 0. Кроме того, корень в знаменателе √b также не может быть равен нулю.
Почему нельзя раскрыть корень из суммы по тому же правилу?
Для суммы нет такого правила: обычно √(a + b) не равно √a + √b. Например, √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7. Правило действует для произведения и дроби при нужных условиях.
Как понять, какое разложение подкоренного выражения упростит вычисления?
Ищите множители, корни из которых легко найти, например квадраты целых чисел. Для дроби можно сначала выполнить деление, если оно упрощает подкоренное выражение, или применить правило корня из дроби.
16. Квадратный корень из произведения и дроби
