§ 6. Свойства арифметического квадратного корня

Определения и обозначения

Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a; записывают его как √a. Подкоренное число a должно быть неотрицательным, иначе арифметический корень в действительных числах не определён. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9, а число −3 не подходит: корень по определению неотрицателен. Это определение помогает понять, какие выражения можно вычислять и почему у квадратного корня есть ограничения.

Корень из произведения — свойство, согласно которому √(ab) = √a · √b, если a ≥ 0 и b ≥ 0. Оно позволяет заменить один корень двумя более простыми и, например, отдельно извлечь корни из чисел, квадраты которых известны. Условия нужны, чтобы оба корня справа существовали в действительных числах. Перед преобразованием поэтому проверяют каждый множитель.

Корень из частного — правило √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0 и b > 0. Оно позволяет работать с числителем и знаменателем по отдельности, если дробь под корнем неудобно вычислять целиком. Знаменатель должен быть положительным: ноль использовать нельзя, а отрицательное число не имеет арифметического квадратного корня. Это правило особенно полезно для дробей с квадратами в числителе и знаменателе.

Корень из квадрата числа задаётся равенством √(a²) = |a| для любого действительного a. Запись |a| означает модуль числа: расстояние от него до нуля, поэтому модуль всегда неотрицателен. Если a ≥ 0, то |a| = a, а если a < 0, то |a| = −a. Это обозначение нужно, чтобы результат извлечения корня оставался неотрицательным при любом знаке исходного числа.

Как это устроено

Если a ≥ 0, то по определению √a — число, квадрат которого равен a. Поэтому, возводя √a в квадрат, мы возвращаемся к подкоренному числу: (√a)² = a. Здесь важно не менять порядок действий: сначала берётся корень, а затем результат возводится в квадрат. Условие a ≥ 0 гарантирует, что √a вообще существует как действительное число.

Чтобы обосновать свойство корня из произведения, нужно проверить, что выражение справа подходит под определение корня из ab. При a ≥ 0 и b ≥ 0 оба числа √a и √b существуют и неотрицательны, поэтому их произведение также неотрицательно. Его квадрат равен (√a · √b)² = a · b, значит, это и есть арифметический корень из ab. Так появляется равенство √(ab) = √a · √b, а не просто правило, которое следует запомнить.

У свойства корня из частного похожее обоснование, но дополнительно важно деление. При b > 0 число √b положительно и не равно нулю, поэтому отношение √a/√b определено; оно неотрицательно, если a ≥ 0. Возведём это отношение в квадрат: (√a/√b)² = a/b. Значит, оно совпадает с арифметическим корнем из a/b; положительность b одновременно обеспечивает допустимость дроби и корня в знаменателе.

В выражении √(a²) под корнем стоит квадрат, который не меняется, если заменить число противоположным: a² = (−a)². Поэтому по одному результату возведения в квадрат нельзя определить, было исходное число положительным или отрицательным. Арифметический корень выбирает неотрицательный ответ, то есть расстояние числа от нуля: |a|. Например, и 4², и (−4)² равны 16, но √16 = 4.

Выбирая свойство, сначала посмотри на то, что находится под знаком корня: произведение, частное или квадрат. Затем проверь условия именно для этого преобразования: множители неотрицательны, знаменатель положителен, а подкоренное выражение допустимо. Если в выражении есть переменная, учитывай все возможные её значения, а не только удобный частный случай. После преобразования полезно проверить знак ответа и при необходимости подставить простое допустимое значение переменной.

Свойства арифметического квадратного корня

Пользуйся таблицей как проверкой перед преобразованием: найди нужную строку и сверь условия с выражением. Если переменная может принимать разные значения, условие должно выполняться для всех рассматриваемых значений или нужно отдельно указать допустимые значения. Особенно внимательно различай √(a²) и (√a)²: у этих записей разные условия и смысл.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите (√13)² и √((-5)²). В первом выражении уже дан арифметический корень, который затем возводят в квадрат; во втором квадрат находится под знаком корня. Эти записи похожи, но применяются разные свойства. Важно записать скобки так, чтобы было ясно: во втором выражении под корнем находится квадрат числа −5.

1. Для (√13)² используем равенство (√a)² = a, так как 13 ≥ 0. Получаем (√13)² = 13.
2. Во втором выражении применяем √(a²) = |a|. Поэтому √((-5)²) = |−5| = 5.
3. Проверяем смысл результата: арифметический корень неотрицателен, значит ответ 5 согласуется с определением.

Ответ: 13 и 5.

Задача 2. Упростите √(36 · 25). Под знаком корня стоит произведение двух неотрицательных чисел, поэтому можно применить свойство корня из произведения. Это удобнее, чем сначала перемножать 36 и 25, а затем извлекать корень из 900. Вынесение вычислений к известным квадратам помогает не запутаться в больших числах.

1. Проверяем условия: 36 ≥ 0 и 25 ≥ 0.
2. Разделяем корень по произведению: √(36 · 25) = √36 · √25.
3. Вычисляем корни: √36 = 6, √25 = 5, значит, 6 · 5 = 30.

Ответ: 30.

Задача 3. Упростите √(144x²/25) при произвольном действительном x. Здесь под корнем находится частное, а числитель содержит произведение 144 и квадрата переменной. Так как x может быть отрицательным, нельзя заранее заменить √(x²) на x. Именно условие «произвольное действительное x» заставляет сохранить модуль.

1. Знаменатель 25 положителен, а числитель 144x² неотрицателен при любом x, поэтому применяем свойство корня из частного: √(144x²/25) = √(144x²)/√25.
2. В числителе разделяем корень из произведения: √(144x²) = √144 · √(x²). Здесь оба множителя под корнем неотрицательны.
3. Подставляем значения: √144 = 12, √(x²) = |x|, √25 = 5. Получаем 12|x|/5.
4. Если x ≥ 0, модуль можно заменить на x; если x < 0, |x| = −x. Поэтому запись 12|x|/5 верна без ограничения на знак x.

Ответ: 12|x|/5.

Типичные ошибки

Ошибка — записывать √(a²) = a для любого a. Так думают, потому что квадрат и корень кажутся взаимно обратными действиями, но корень возвращает только неотрицательное число. Например, при a = −2 получаем √((-2)²) = 2, а не −2. Проверь себя на отрицательном значении переменной: правильная запись должна дать неотрицательный результат, поэтому используют |a|.

Ошибка — распределять корень по произведению, не проверив множители. Правило √(ab) = √a · √b действует только при a ≥ 0 и b ≥ 0; если один множитель отрицателен, корень из него может не существовать в действительных числах. Удобная проверка — выписать знаки обоих множителей до преобразования. Если условие нарушено, нельзя обосновывать преобразование этим свойством.

Ошибка — применять свойство корня из частного при b = 0. Иногда ноль в знаменателе воспринимают как обычное число, но дробь a/b при таком значении не определена. Поэтому в формуле требуется b > 0: это одновременно исключает деление на ноль и гарантирует существование √b. Перед преобразованием проверь знаменатель отдельно, даже если остальные части выражения допустимы.

Ошибка — считать, что √(a + b) = √a + √b. Такое рассуждение возникает по аналогии со свойствами произведения и частного, но для суммы этого правила нет. Например, √(1 + 8) = 3, тогда как √1 + √8 не равно 3. Проверяй подозрительное правило на простых неотрицательных числах: если результаты различаются, распределять корень по сумме нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с корнями нужно знать их определение, уметь возводить числа в квадрат и выполнять действия с дробями. Эти знания помогают проверять, существует ли корень, и понимать ограничения на знаменатель. Новые свойства применяются при упрощении выражений с корнями и вынесении множителей из-под знака корня. Они также помогают преобразовывать равенства при решении уравнений, где нужно внимательно учитывать допустимые значения переменных.

Что запомнить

• (√a)² = a при a ≥ 0.
• √(a²) = |a|, а не всегда a.
• √(ab) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0.
• √(a/b) = √a / √b при a ≥ 0 и b > 0.
• Перед применением свойства проверяй допустимые значения подкоренных выражений и знаменателей.
• Корень можно распределять по произведению и частному, но не по сумме.