16. Функция у = ых и её график

Определения и обозначения

Функция y = kx — зависимость, в которой каждому значению x соответствует значение y, равное произведению x на постоянное число k. Здесь x — аргумент, то есть входное значение, а y — результат вычисления. Например, при k = 3 значение x = 2 даёт y = 6. Такая запись позволяет быстро находить результат для любого заданного x.

Коэффициент k — постоянный множитель при x; он определяет направление и наклон графика. Коэффициент не меняется, когда меняется x, поэтому именно он задаёт характер зависимости. Например, знаки k = 2 и k = −2 дают разное направление наклона, хотя модуль у них одинаковый. Зная k, можно понять основные свойства графика ещё до его построения.

Прямая пропорциональность — зависимость вида y = kx, при которой отношение y/x постоянно и равно k при x ≠ 0. Иными словами, если x увеличить или уменьшить в несколько раз, y изменится во столько же раз с учётом знака k. Например, при k = 4 каждой ненулевой паре значений соответствует отношение y/x = 4. Это понятие помогает описывать величины, связанные постоянным множителем.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; kx); для функции y = kx это прямая, проходящая через начало координат. Каждая точка графика показывает одну пару связанных значений x и y. Чтобы проверить точку, достаточно подставить её координаты в формулу. График помогает увидеть зависимость целиком, а не только для отдельных чисел.

Как это устроено

Чтобы построить график y = kx, вычисляют значения функции для нескольких x и отмечают получившиеся пары координат. Например, можно взять x = −1, x = 0 и x = 1, а затем найти соответствующие y. Все такие точки лежат на одной прямой: при изменении x значение y меняется в одном и том же отношении, заданном k. Поэтому для точного построения обычно достаточно двух различных точек, а дополнительные точки помогают проверить себя.

Точка (0; 0) принадлежит графику при любом k, потому что при x = 0 произведение kx равно нулю. Это не зависит ни от величины, ни от знака коэффициента. Поэтому прямая графика y = kx обязательно проходит через начало координат. Эта точка удобна при построении: её можно отметить сразу, не составляя таблицу.

Если k > 0, то при увеличении x значение y тоже увеличивается: положительное число умножается на всё большие значения x. Поэтому прямая поднимается слева направо. Если k < 0, то при увеличении x значение y становится меньше, поскольку умножение на отрицательное число меняет направление изменения. Тогда прямая опускается слева направо.

Крутизна прямой зависит от модуля коэффициента |k|, потому что при изменении x на одну и ту же величину изменение y равно k, умноженному на это изменение x. Чем больше |k|, тем сильнее меняется y и тем круче выглядит прямая. Знак k отвечает не за крутизну, а за направление: при одинаковых модулях коэффициентов прямые наклонены в разные стороны. Например, у y = 2x наклон круче, чем у y = −x/2, поскольку 2 больше 1/2 по модулю.

Если k = 0, то при любом x получается y = 0, так как ноль, умноженный на любое число, равен нулю. Все точки графика имеют вид (x; 0), а это точки оси x. Функция в этом случае не возрастает и не убывает, а остаётся постоянной. Её множество значений состоит только из числа 0.

Как коэффициент k влияет на функцию y = kx

Сначала найдите столбец, соответствующий знаку коэффициента, а затем посмотрите нужное свойство. Например, по строке о поведении функции можно определить, возрастает она или убывает. Для сравнения крутизны прямых дополнительно учитывайте модуль коэффициента: таблица показывает направление, а не величину наклона.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график функции y = 2x. Чтобы получить прямую, достаточно найти координаты нескольких точек, принадлежащих графику. Удобно выбрать значения x, для которых вычисления особенно просты.

1. Возьмём x = 0, x = 1 и x = −1. Эти значения расположены по разные стороны от нуля и позволяют проверить направление прямой.

2. Вычислим y = 2x: при x = 0 получаем y = 0, при x = 1 получаем y = 2, при x = −1 получаем y = −2. Значит, точки графика — (0; 0), (1; 2) и (−1; −2).

3. Отметим точки на координатной плоскости и проведём через них прямую. Проверка: коэффициент положительный, поэтому прямая должна подниматься слева направо.

Ответ: график — прямая через точки (0; 0), (1; 2) и (−1; −2).

Задача 2. Определите, принадлежит ли точка (−3; 6) графику функции y = kx, и найдите k. Поскольку координата x точки не равна нулю, коэффициент можно найти по отношению y к x. После вычисления следует проверить, что полученное значение действительно приводит к заданной точке.

1. Подставим координаты точки в равенство y = kx: 6 = k · (−3). Так мы используем условие принадлежности графику, а не угадываем коэффициент.

2. Разделим обе части равенства на −3: k = 6/(−3) = −2. Отрицательный знак согласуется с тем, что у точки x отрицательно, а y положительно.

3. Проверим: при k = −2 и x = −3 получаем y = (−2) · (−3) = 6. Координаты точки удовлетворяют формуле, значит, точка принадлежит графику.

Ответ: точка принадлежит графику, k = −2.

Задача 3. График функции y = kx проходит через точку (4; −6). Найдите k и определите, при каком x значение функции равно 9. Сначала найдём коэффициент по известной точке, а затем используем его в новой формуле. Это два последовательных шага одной задачи.

1. Подставим координаты точки: −6 = k · 4. Так как x = 4 не равно нулю, делим y на x и получаем k = −6/4 = −3/2.

2. Теперь функция имеет вид y = −3x/2. Чтобы найти x при y = 9, подставим 9 вместо y: 9 = −3x/2.

3. Умножим обе части уравнения на 2: 18 = −3x. Разделим на −3 и получим x = −6; подстановка даёт y = −3 · (−6)/2 = 9.

Ответ: k = −3/2; значение функции равно 9 при x = −6.

Типичные ошибки

Не следует автоматически считать, что любая прямая проходит через начало координат. Для y = kx это верно, потому что при x = 0 получается y = 0, но для y = kx + b при b ≠ 0 точка (0; 0) обычно графику не принадлежит. Ошибку допускают, перенося свойство одной формулы на другую. Проверяйте пересечение с осью y подстановкой x = 0.

Знак коэффициента определяет направление наклона, и его легко перепутать. При k < 0 функция убывает слева направо, а при k > 0 возрастает; это следует из того, как меняется произведение kx при увеличении x. Проверить себя можно по двум точкам, у которых значения x идут по возрастанию: сравните соответствующие y. Не делайте вывод только по тому, находится ли прямая выше или ниже оси x.

Больший коэффициент не всегда означает более крутой график: крутизну задаёт модуль |k|, а знак отвечает за направление. Например, коэффициент −5 по модулю больше, чем 2, хотя само число −5 меньше. Ошибка возникает, если сравнивать коэффициенты без учёта знака. Для проверки сравните модули, а направление определите отдельно по знаку.

При поиске коэффициента по точке нельзя делить x на y: из равенства y = kx при x ≠ 0 следует k = y/x. Перестановка числителя и знаменателя даёт другое число, которое обычно не удовлетворяет исходной формуле. После вычисления подставьте найденное k и координату x обратно в y = kx. Если равенство не выполняется, проверьте деление.

Связь с другими темами

Для работы с функцией y = kx понадобятся подстановка чисел в формулу, составление таблицы значений и умение отмечать точки на координатной плоскости. Тема связана с понятием функции и линейной функцией: y = kx является частным случаем y = kx + b, где b = 0. Она также помогает описывать прямую пропорциональность, а чтение графиков пригодится при изучении систем уравнений и задач на зависимости величин.

Что запомнить

• Функция y = kx задаёт прямую пропорциональность.
• График y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает.
• Наклон прямой определяется модулем коэффициента |k|.
• Если k = 0, график совпадает с осью x.
• Чтобы найти k по точке графика с x ≠ 0, используют равенство k = y/x.