"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Арифметический квадратный корень помогает находить неотрицательное число, квадрат которого равен данному. Его свойства позволяют вычислять корни из произведений и частных, а также упрощать выражения с квадратами переменных. Главное — проверять условия: подкоренное число неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю. Особое правило √(a²) = |a| напоминает, что знак числа нельзя терять.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; он существует при a ≥ 0 и обозначается √a. Подкоренное выражение — число или выражение под знаком корня. Условие a ≥ 0 нужно, потому что квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Неотрицательность результата помогает однозначно выбрать арифметический корень, когда у числа есть два квадратных корня.
Свойство произведения: при a ≥ 0 и b ≥ 0 выполняется √(ab) = √a · √b. Значит, корень из произведения можно найти, отдельно извлекая корни из множителей. Это удобно, когда сами множители являются полными квадратами или их корни легко найти.
Свойство частного: при a ≥ 0 и b > 0 выполняется √(a/b) = √a / √b. Оно позволяет вычислить корень из дроби, найдя корни числителя и знаменателя отдельно. Требование b > 0 означает, что знаменатель положителен и деление на него допустимо.
Для любого действительного a справедливо равенство √(a²) = |a|, где |a| — модуль числа, то есть расстояние от него до нуля. Модуль не бывает отрицательным: если a ≥ 0, то |a| = a, а если a < 0, то |a| = −a. Это правило нужно, чтобы правильно упростить корень из квадрата, не потеряв знак исходного числа.
Определение корня связано с решением равенства x² = a. Если a положительно, у такого уравнения обычно два решения: одно положительное, другое отрицательное. Знак √ выбирает только неотрицательное решение, поэтому √9 = 3, а не −3. Если a < 0, действительного числа, квадрат которого равен a, нет, поэтому арифметический корень в действительных числах не существует.
Чтобы обосновать свойство произведения, рассмотрим числа a ≥ 0 и b ≥ 0. Корни √a и √b существуют и неотрицательны, поэтому их произведение тоже неотрицательно. Если возвести произведение в квадрат, получим (√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = ab. Значит, оно является неотрицательным числом, квадрат которого равен ab, то есть по определению равно √(ab).
Для частного рассуждение похоже, но нужно следить за знаменателем. При b > 0 корень √b существует и положителен, поэтому на него можно делить. Квадрат частного равен (√a / √b)² = a/b, а само частное неотрицательно. Следовательно, оно совпадает с арифметическим корнем из a/b; условие b > 0 одновременно исключает деление на ноль.
При вычислениях свойства помогают разбить сложное подкоренное выражение на части с известными корнями. Например, произведение можно разложить на множители, а дробь — представить как частное, если выполнены ограничения на знаки. Нельзя забывать, что равенства свойств применяются только к произведению и частному, а не к любой операции. В частности, корень из суммы обычно не равен сумме корней.
Равенство √(a²) = |a| следует из определения: результат должен быть неотрицательным, а его квадрат равен a². Если a положительно или равно нулю, таким числом будет само a. Если a отрицательно, число a не подходит, потому что оно отрицательно; подходит противоположное ему число −a. Поэтому запись √(a²) = a верна лишь при a ≥ 0, а для любого действительного a требуется модуль.
| Свойство | Условия | Равенство |
|---|---|---|
| Корень из произведения | a ≥ 0, b ≥ 0 | √(ab) = √a · √b |
| Корень из частного | a ≥ 0, b > 0 | √(a/b) = √a / √b |
| Квадрат арифметического корня | a ≥ 0 | (√a)² = a |
| Корень из квадрата числа | a — любое действительное число | √(a²) = |a| |
Перед применением свойства найди значения подкоренных выражений и проверь условия в среднем столбце. Затем выбери равенство, подходящее к произведению, частному или квадрату. Столбец с условиями помогает не допустить действий с отрицательным подкоренным числом или нулевым знаменателем.
Задача 1. Вычислите √(9 · 16). Под корнем стоит произведение двух неотрицательных чисел, поэтому можно применить свойство корня из произведения. Удобно извлечь корни из множителей по отдельности, а затем перемножить результаты.
Ответ: 12. Проверка показывает, что 12² = 144, а 9 · 16 = 144. Полученный корень неотрицателен, как и должно быть по определению.
Задача 2. Упростите √(72/8). Здесь под знаком корня находится частное, поэтому сначала проверяем числитель и знаменатель. Числитель 72 неотрицателен, а знаменатель 8 положителен, следовательно, можно применить свойство корня из частного.
Ответ: 3. Этот способ особенно короткий, потому что деление 72 на 8 даёт полный квадрат. Проверка: 3² = 9, то есть значение под корнем после упрощения.
Задача 3. Упростите √(x²) + √(25y²), если x < 0 и y ≥ 0. В обоих слагаемых есть корни из квадратов, поэтому применяем формулу √(a²) = |a|. Затем раскрываем модули с учётом заданных знаков переменных; именно поэтому условия x < 0 и y ≥ 0 важны.
Ответ: −x + 5y. Например, при x = −2 и y = 1 исходное выражение равно 2 + 5 = 7, и результат −x + 5y также равен 7. Проверка подтверждает, что знак минус перед x необходим.
Ошибка: записывать √(a²) = a для любого a. Так поступают, перенося правило для положительных чисел на отрицательные и забывая, что корень неотрицателен. При a < 0 ответом будет −a, поэтому для проверки подставь отрицательное число, например −3: √((-3)²) = 3, а не −3.
Ошибка: применять свойство корня из частного при знаменателе b = 0. Причина — внимание сосредоточено на извлечении корня, а допустимость деления не проверяется. Перед преобразованием проверь, что знаменатель строго положителен; дробь с нулём в знаменателе не определена.
Ошибка: использовать √(ab) = √a · √b, не проверив знаки множителей. Если один из множителей отрицателен, корень из него может не существовать в действительных числах, хотя исходное произведение иногда неотрицательно. Проверяй отдельно, что a ≥ 0 и b ≥ 0, а не только знак произведения ab.
Ошибка: считать, что √(a + b) = √a + √b. Такое предположение возникает из-за сходства с правилами для произведения и частного, но корень не распределяется по сумме. Проверить догадку можно на a = 9 и b = 16: √25 = 5, тогда как √9 + √16 = 7.
Для работы со свойствами нужны определение арифметического квадратного корня, правила действий с дробями и знание модуля числа. Определение помогает проверять, существуют ли корни, правила дробей — упрощать частные, а модуль — учитывать знак переменной в выражении √(a²). Эти знания позволяют обосновать преобразования, а не только запомнить формулы.
Свойства корней используют при упрощении выражений, преобразовании дробей и решении уравнений с квадратными корнями. Разложение произведения на множители помогает находить удобные для извлечения корни, а свойство частного — сокращать вычисления с дробями. Проверка условий остаётся необходимой при каждом таком преобразовании.
Почему арифметический квадратный корень не может быть отрицательным?
По определению арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу. Например, у числа 9 есть два квадратных корня: 3 и −3, но арифметический корень √9 равен только 3.
Можно ли извлекать корень из произведения любых двух чисел?
В действительных числах свойство √(ab) = √a · √b применяют, если a ≥ 0 и b ≥ 0. При отрицательном множителе корень из него не определён в действительных числах, поэтому условие нужно проверить.
Почему в свойстве корня из частного знаменатель должен быть положительным?
Знаменатель b должен быть положительным, чтобы √b существовал и не был равен нулю. Кроме того, деление на ноль не определено, поэтому b = 0 недопустимо.
Чем отличаются выражения (√a)² и √(a²)?
При a ≥ 0 выражение (√a)² равно a, потому что возведение корня в квадрат отменяет извлечение корня. А √(a²) равно |a| для любого действительного a, так как арифметический корень неотрицателен.
Когда √(x²) равно x, а когда равно −x?
Если x ≥ 0, то |x| = x, поэтому √(x²) = x. Если x < 0, то |x| = −x, и √(x²) = −x.
§ 16. Свойства арифметического квадратного корня
