"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Чтобы упростить выражение с корнями, используют правила произведения и частного, выносят из-под корня полные квадраты и приводят подобные радикалы. При каждом преобразовании нужно проверять, что подкоренные выражения допустимы, а извлекая корень из квадрата, учитывать модуль. Эти приёмы помогают быстрее считать и преобразовывать выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень √a определён при a ≥ 0 и является неотрицательным числом, квадрат которого равен a. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9, а √0 = 0. У отрицательного числа арифметического квадратного корня нет. Это определение помогает проверять, допустимо ли выражение с корнем.
Вынесение множителя из-под знака корня — это преобразование √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0. Модуль |a| показывает расстояние числа a от нуля и всегда неотрицателен. Если заранее известно, что a ≥ 0, можно записать a√b вместо |a|√b. Так выражение под корнем становится проще.
Внесение множителя под знак корня позволяет записать a√b как √(a²b), если a ≥ 0 и b ≥ 0. При этом множитель перед корнем обязательно возводят в квадрат. Это преобразование удобно, когда выражения нужно записать в одинаковом виде для сравнения или дальнейших вычислений. Без условия a ≥ 0 равенство может нарушиться.
Подобные радикалы — это слагаемые с одинаковой подкоренной частью, например 3√5 и −2√5. Их можно сложить или вычесть, вынеся общий множитель √5: 3√5 − 2√5 = √5. Если подкоренные части отличаются, сначала нужно проверить, можно ли упростить корни. Понятие подобных радикалов помогает определить, какие слагаемые можно объединить.
Для неотрицательных a и b верно √a · √b = √(ab), потому что квадрат произведения корней равен ab. Само произведение √a · √b неотрицательно, поэтому оно и есть арифметический корень из ab. Аналогично, при b > 0 частное √a / √b неотрицательно, а его квадрат равен a/b. Условия нужны не формально: без них отдельные корни или деление могут быть не определены.
Чтобы вынести множитель из √(a²b), представим корень произведения как √(a²) · √b. Корень из квадрата равен не обязательно самому числу: √(a²) = |a|, поскольку результат должен быть неотрицательным. Поэтому получаем |a|√b, если b ≥ 0. Если под корнем есть несколько квадратных множителей, каждый можно извлечь отдельно, сохраняя модуль для множителей с неизвестным знаком.
При внесении множителя под корень нужно сделать так, чтобы новое выражение имело прежнее значение. Квадрат числа a равен a², поэтому при a ≥ 0 получаем a√b = √(a²) · √b = √(a²b). Неотрицательность a важна: корень не может дать отрицательный результат. Например, 3√2 можно записать как √18, так как 3² · 2 = 18.
Чтобы привести радикалы к подобному виду, сначала упрощают каждый из них, вынося полные квадраты. Например, √12 = √(4 · 3) = 2√3, а √27 = √(9 · 3) = 3√3. Теперь подкоренная часть у обоих выражений одинаковая, и можно складывать или вычитать коэффициенты перед √3. Если после упрощения подкоренные части разные, слагаемые объединять нельзя.
Проверка условий защищает от преобразований, которые меняют смысл выражения или делают его неопределённым. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля. При извлечении корня из квадрата появляется модуль, потому что знак исходного множителя может быть отрицательным. Поэтому полезно проверять не только вычисления, но и область допустимых значений выражения.
| Преобразование | Условия | Правило |
|---|---|---|
| Произведение корней | a ≥ 0, b ≥ 0 | √a · √b = √(ab) |
| Частное корней | a ≥ 0, b > 0 | √a / √b = √(a/b) |
| Вынесение множителя из-под корня | b ≥ 0 | √(a²b) = |a|√b |
| Внесение множителя под корень | a ≥ 0, b ≥ 0 | a√b = √(a²b) |
| Сложение и вычитание подобных радикалов | Подкоренные части одинаковы | m√c ± n√c = (m ± n)√c |
Найди в таблице нужный тип преобразования и сначала проверь его условия. Затем примени правило к выражению, не забывая отдельно упрощать подкоренные части. Если радикалы не стали подобными, складывать их коэффициенты нельзя.
Упростим выражение √12 · √3. Здесь оба подкоренных числа неотрицательны, поэтому можно объединить корни по правилу произведения. После этого останется извлечь корень из полученного полного квадрата. Такой порядок уменьшает число отдельных действий.
Ответ: 6. Проверка показывает, что правило применено при допустимых значениях подкоренных выражений. Получившееся число положительно, как и произведение исходных корней.
Упростим √(50x²), если x — любое действительное число. Число 50 можно разложить на 25 · 2, а переменную часть удобно оставить как квадрат x². Поскольку знак x заранее неизвестен, при извлечении корня из x² нужно сохранить модуль. Так выражение будет верным и при положительном, и при отрицательном x.
Ответ: 5|x|√2. Если x = −1, исходный корень равен √50, поэтому ответ должен быть положительным; запись 5x√2 дала бы отрицательное число и показала бы, почему модуль необходим.
Упростим 2√12 − √27 + √3. На первый взгляд корни разные, поэтому сразу объединять слагаемые нельзя. Сначала нужно вынести из каждого корня полный квадрат. После упрощения все радикалы окажутся с одинаковой подкоренной частью.
Ответ: 2√3. Мы объединили радикалы только после приведения к одинаковой подкоренной части. Это похоже на сложение подобных слагаемых с одинаковой буквенной частью.
Ошибка: записывать √(a²) = a при любом a. Так делают, перенося привычное правило извлечения квадратного корня на отрицательные числа, но арифметический корень неотрицателен. Например, при a = −4 получаем √(a²) = 4, а не −4. Проверь себя подстановкой отрицательного значения или используй запись |a|.
Ошибка: применять √(ab) = √a · √b, не проверив знаки a и b. Свойство требует, чтобы оба множителя были неотрицательны; иначе один из корней может не существовать в действительных числах. Например, нельзя разделить отрицательное подкоренное число на два корня, если они не определены. Перед преобразованием проверь каждый подкоренный множитель.
Ошибка: складывать корни по правилу √a + √b = √(a + b). Правило произведения нельзя переносить на сумму: например, √4 + √9 = 5, а √13 — другое число. Ошибка возникает из-за похожего вида формул для произведения и сложения. Проверь результат вычислением простых корней или сначала найди подходящее правило.
Ошибка: объединять радикалы с разными подкоренными частями до упрощения. Например, √12 и √27 выглядят различно, но после вынесения полных квадратов становятся 2√3 и 3√3. А √2 и √3 остаются разными радикалами, которые нельзя сложить в один. Упростив каждый корень, сравни подкоренные части и только затем складывай коэффициенты.
Для преобразований с корнями нужно знать определение арифметического квадратного корня, свойства степеней и разложение чисел и выражений на множители. Например, представление 12 как 4 · 3 помогает увидеть полный квадрат и упростить √12. Свойства степеней помогают распознавать выражения вида a² и выносить их из-под корня.
Эти приёмы пригодятся при упрощении алгебраических выражений и вычислениях с корнями. Они также используются при решении уравнений, содержащих квадратные корни: упрощённые записи легче сравнивать и преобразовывать. Условия существования корней при этом помогают определить допустимые значения переменных.
Почему √(a²) равно |a|, а не просто a?
Квадратный корень по определению неотрицателен. Если a отрицательно, то √(a²) = −a, а если a неотрицательно — √(a²) = a. Оба случая объединяет запись |a|.
При каких условиях можно перемножать два квадратных корня?
Равенство √a · √b = √(ab) верно, если a ≥ 0 и b ≥ 0. Эти условия нужны, чтобы оба корня были определены.
Как понять, какой множитель можно вынести из-под корня?
Найди под корнем множитель, который является полным квадратом, например 9 или x². Из √(a²b) получаем |a|√b; заменить |a| на a можно, только если известно, что a ≥ 0.
Можно ли сложить √2 и √3?
Объединить их в один радикал и получить √5 нельзя: правило сложения корней не действует. Поскольку подкоренные части различаются и дальше не упрощаются, выражение √2 + √3 остаётся таким.
Зачем сначала упрощать радикалы перед их сложением?
После упрощения разные на вид корни могут получить одинаковую подкоренную часть. Тогда они становятся подобными, и можно сложить или вычесть их коэффициенты, как у обычных слагаемых.
§ 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни
