"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Функция y = √x каждому неотрицательному числу x ставит в соответствие его арифметический квадратный корень. Она определена только при x ≥ 0, а её значения также неотрицательны. График строят по точкам с координатами (x; √x), поэтому он начинается в начале координат, располагается справа от оси Oy и не опускается ниже оси Ox. Знание графика помогает находить значения функции и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = √x — это правило, по которому каждому неотрицательному значению x ставится в соответствие неотрицательное число √x. Здесь x называют аргументом, а y — значением функции. Такое правило позволяет по заданному x однозначно находить y.
Область определения функции — все значения аргумента, при которых выражение функции имеет смысл. Для функции y = √x это все x, удовлетворяющие условию x ≥ 0. Знание области определения подсказывает, какие числа можно подставлять вместо x.
График функции y = √x — множество точек координатной плоскости с координатами (x; √x), где x ≥ 0. Первая координата точки показывает аргумент, а вторая — соответствующее значение функции. По графику можно увидеть зависимость между x и y и находить значения без полного вычисления.
Подкоренное выражение в арифметическом квадратном корне должно быть неотрицательным: квадрат любого действительного числа не бывает отрицательным. Поэтому выражение √x имеет смысл только тогда, когда x ≥ 0. Это условие и даёт область определения функции: отрицательные значения x сразу исключаются.
Для таблицы значений лучше выбирать такие x, корни из которых легко вычислить. Например, при x = 0, 1, 4 и 9 получаем y = 0, 1, 2 и 3. Так таблица будет содержать точные значения, а точки окажутся удобными для нанесения на координатную плоскость.
Чтобы построить график, сначала составляют пары (x; y), затем отмечают их и соединяют плавной линией. Точки (0; 0), (1; 1), (4; 2) и (9; 3) принадлежат графику, потому что их вторые координаты равны корням из первых: √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3. После добавления других точек линия уточняет форму графика.
При x ≥ 0 первая координата точки неотрицательна, а √x ≥ 0 — вторая. Поэтому график находится в первой координатной четверти и на положительной полуоси Ox, не попадая во вторую или нижние четверти. При увеличении x его квадратный корень тоже увеличивается, хотя и не так быстро, поэтому функция возрастает.
Чтобы найти по графику значение функции при заданном x, на оси Ox отмечают этот x, проводят вертикаль до графика и считывают ординату точки. Для поиска аргумента по заданному y действуют наоборот: от значения на оси Oy проводят горизонталь к графику, а затем опускают перпендикуляр на Ox. Например, из √x = 3 следует, что точка с ординатой 3 имеет абсциссу 9.
| Свойство | Характеристика |
|---|---|
| Область определения | x ≥ 0 |
| Множество значений | y ≥ 0 |
| Расположение графика | Первая координатная четверть и положительная полуось Ox |
| Значение при x = 0 | y = 0 |
| Монотонность | Функция возрастает на всей области определения |
Таблица помогает быстро проверить, допустимо ли выбранное значение x и каким может быть результат. По строкам о множестве значений и расположении графика можно контролировать знак координат. Свойства также подсказывают, как читать график и проверять полученный ответ.
Найдите значения функции y = √x при x = 0, 9 и 25. Нужно для каждого аргумента вычислить арифметический квадратный корень, не забывая, что результат берётся неотрицательным.
Ответ: y(0) = 0, y(9) = 3, y(25) = 5.
Постройте график функции y = √x, составив таблицу значений. Выберем полные квадраты, чтобы значения корней находились без округления.
Ответ: построен график, проходящий через перечисленные точки и существующий только при x ≥ 0.
Используя график y = √x, найдите значение функции при x = 6 и решите уравнение √x = 3. В первом случае требуется считать ординату, а во втором — найти абсциссу по известной ординате.
Ответ: при x = 6 функция примерно равна 2,45; решение уравнения — x = 9.
Отрицательные x иногда включают в область определения, забывая о смысле квадратного корня. В действительных числах √(−4) не существует, поэтому проверяйте условие x ≥ 0 до вычислений.
Некоторые записывают √(a + b) = √a + √b, перенося корень на каждое слагаемое. Это неверно в общем случае: например, √(1 + 4) = √5, а √1 + √4 = 3. Не разделяйте корень на сумму без специального основания.
График иногда продолжают ниже оси Ox, потому что путают его с другими кривыми. Арифметический корень неотрицателен, значит, все точки должны иметь y ≥ 0.
Ещё одна ошибка — путать аргумент и значение функции. В записи y = √x число x находится под корнем, а y получается после вычисления корня. Для проверки подставьте найденную пару обратно в формулу.
До изучения функции y = √x нужно знать определение арифметического квадратного корня, уметь работать с координатной плоскостью и строить графики по таблице значений. Эти навыки объясняют, какие точки допустимы и как соединять их на чертеже.
График и свойства функции применяются при решении уравнений и неравенств с корнями. Позже они понадобятся для изучения преобразований графиков: сдвигов, растяжений и отражений.
Почему функция y = √x не определена при отрицательных x?
В действительных числах арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа. Поэтому при x < 0 выражение √x не имеет действительного значения, и такие x не входят в область определения.
Может ли значение функции y = √x быть отрицательным?
Нет, не может. Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательным числом, поэтому y = √x ≥ 0.
Какие значения x удобнее выбирать для построения графика?
Удобнее брать неотрицательные полные квадраты: 0, 1, 4, 9, 16. Тогда корни находятся сразу: √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3.
Почему график функции начинается в точке (0; 0)?
Наименьшее допустимое значение аргумента — x = 0. При нём y = √0 = 0, поэтому первой точкой графика является (0; 0).
Как по графику y = √x найти аргумент по заданному значению функции?
Нужно отметить на оси Oy заданное значение y и провести горизонталь до графика. Затем из точки пересечения опустить перпендикуляр на ось Ox: полученная координата x и будет искомым аргументом.
§ 18. Функция у =?x и её график
