"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Квадратное уравнение содержит переменную во второй степени и записывается так: ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c называют коэффициентами, а корнем — значение переменной, которое превращает уравнение в верное равенство. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, уравнение неполное. Его решают проще, чем полное: делят на коэффициент, раскладывают на множители или выражают x² и определяют число корней по знаку.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Переменная x в нём встречается во второй степени, поэтому уравнение относится к квадратным. Условие a ≠ 0 показывает, что слагаемое с x² действительно присутствует. По такой записи можно определить вид уравнения и выбрать способ решения.
Коэффициенты квадратного уравнения — числа a, b и c в записи ax² + bx + c = 0. Число a называют первым коэффициентом, b — вторым, а c — свободным членом. Например, в уравнении 3x² − 5x + 2 = 0 имеем a = 3, b = −5, c = 2. Эти обозначения помогают быстро заметить, какого слагаемого нет и как уравнение преобразовать.
Корень квадратного уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное равенство. Чтобы проверить число, вместо x подставляют его в левую часть и вычисляют результат. Например, число 0 является корнем уравнения 5x² = 0, потому что при подстановке получается 0 = 0. Понятие корня нужно, чтобы точно сформулировать ответ и проверить решение.
Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором b = 0 или c = 0, либо оба этих коэффициента равны нулю. Тогда в записи отсутствует слагаемое bx, свободный член c или сразу оба слагаемых. Например, 4x² − 8x = 0 и 4x² − 9 = 0 — неполные уравнения. По отсутствующим слагаемым выбирают один из специальных способов решения.
В записи ax² + bx + c = 0 коэффициент a должен быть ненулевым, потому что именно он умножает x². Если положить a = 0, первый член станет равен нулю, и останется bx + c = 0. Это уравнение уже не содержит переменную во второй степени и обычно является линейным. Поэтому условие a ≠ 0 отделяет квадратные уравнения от уравнений другого вида.
Чтобы распознать неполное уравнение, сравните имеющиеся слагаемые с полной записью ax² + bx + c = 0. Если не написан член с x, значит, b = 0; если нет числа без переменной, значит, c = 0. Поэтому получаются три формы: ax² = 0, ax² + bx = 0 и ax² + c = 0. Такое распознавание нужно, чтобы не применять более сложный способ там, где достаточно простого преобразования.
В уравнении ax² = 0 коэффициент a не равен нулю, поэтому обе части можно разделить на a. Получится x² = 0, а квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Значит, x = 0 — единственный корень. Других значений быть не может: любое ненулевое число при возведении в квадрат даёт положительное число.
В уравнении ax² + bx = 0 оба слагаемых содержат общий множитель x. Вынесем его за скобки: x(ax + b) = 0. Произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому получаем два уравнения: x = 0 или ax + b = 0. Второе уравнение линейное, и из него следует x = −b/a; делить исходное уравнение на x нельзя, ведь так можно потерять нулевой корень.
Для уравнения ax² + c = 0 сначала перенесём c в правую часть: ax² = −c. Затем разделим обе части на a и получим x² = −c/a. Если правая часть положительна, существуют два противоположных корня; если равна нулю — один корень 0. Если она отрицательна, действительных корней нет, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Сначала определите, какое слагаемое отсутствует, и найдите соответствующую строку таблицы. Затем примените указанный способ и запишите все корни, учитывая их возможное число. В таблице предполагается, что a ≠ 0; в строке ax² + bx = 0 коэффициент b отличен от нуля, а в строке ax² + c = 0 — c отличен от нуля.
| Вид уравнения | Какие коэффициенты равны нулю | Способ решения | Число корней и результат |
|---|---|---|---|
| ax² = 0 | b = 0, c = 0 | Разделить обе части на a | Один корень: x = 0 |
| ax² + bx = 0 | c = 0 | Вынести x за скобки, приравнять множители к нулю | Два корня: x = 0 и x = −b/a |
| ax² + c = 0 | b = 0 | Получить x² = −c/a и сравнить правую часть с нулём | Два корня, один корень или нет действительных корней |
Решим уравнение 5x² = 0. Здесь при x² стоит ненулевой коэффициент 5, а слагаемые с x и без переменной отсутствуют. Поэтому можно разделить обе части на 5: деление на ненулевое число сохраняет равенство. Затем остаётся уравнение x² = 0.
Ответ: x = 0.
Решим уравнение 3x² − 12x = 0. Оба слагаемых содержат x, поэтому удобно вынести общий множитель, а не делить уравнение на x. После разложения произведение должно быть равно нулю, значит, проверяем каждый множитель отдельно. Так сохраняется возможность получить корень x = 0.
Ответ: x = 0; x = 4.
Решим уравнение 2x² − 18 = 0. В нём отсутствует член с x, поэтому выразим квадрат переменной и оценим полученное число. Важно разделить на коэффициент при x² после переноса свободного члена. Поскольку результат положительный, корней будет два — противоположные числа.
Ответ: x = −3; x = 3.
Иногда уравнение считают квадратным даже при a = 0. Ошибка возникает, если смотреть только на запись и не учитывать значение коэффициента при x². При a = 0 этот член исчезает, поэтому уравнение становится другого вида. Для самопроверки убедитесь, что первый коэффициент не равен нулю.
В уравнении ax² + bx = 0 нельзя сразу делить обе части на x. Такое действие исключает случай x = 0, хотя он может быть корнем. Часто деление кажется удобным, потому что x есть в каждом слагаемом. Вместо этого вынесите x за скобки и приравняйте каждый множитель к нулю.
При решении ax² + c = 0 можно забыть разделить на a или неверно перенести c. Тогда меняется значение правой части, а вместе с ним — число и значения корней. Чтобы проверить преобразование, сначала запишите ax² = −c, затем отдельным шагом разделите обе части на a. Подстановка найденного корня в исходное уравнение тоже обнаружит ошибку.
Если x² = m и m > 0, запись только x = √m даёт лишь один корень. Так происходит, когда забывают, что положительное число и его противоположное имеют одинаковый квадрат. Записывайте оба значения: x = √m и x = −√m. Затем проверьте, что квадрат каждого из них равен m.
Для решения неполных квадратных уравнений нужны навыки, полученные раньше: преобразование выражений, вынесение общего множителя за скобки и решение линейных уравнений. Например, после разложения ax² + bx на множители приходится решать уравнение ax + b = 0. Если эти действия знакомы, способы решения неполных уравнений становятся понятными и короткими.
Эта тема подготавливает к решению полных квадратных уравнений, где присутствуют все три слагаемых. Она также нужна для применения теоремы Виета и решения текстовых задач, которые сводятся к квадратному уравнению. Умение распознавать простые случаи помогает выбирать подходящий способ и не усложнять вычисления.
Почему в определении квадратного уравнения обязательно условие a ≠ 0?
Если a = 0, слагаемое ax² исчезает, и во вхождении переменной не остаётся второй степени. Получится линейное уравнение или уравнение без переменной, а не квадратное.
Как понять, что квадратное уравнение является неполным?
Сравните его с записью ax² + bx + c = 0. Если нет слагаемого bx, то b = 0; если нет свободного члена c, то c = 0. Если пропущено оба, уравнение имеет вид ax² = 0.
Почему при решении ax² + bx = 0 нельзя сразу делить на x?
Такое деление допустимо только при условии x ≠ 0, но x = 0 может быть корнем исходного уравнения. Деление на x потеряет этот корень. Вместо этого нужно вынести x за скобки и применить правило о произведении, равном нулю.
Как определить число корней уравнения ax² + c = 0?
Сначала выразите x²: x² = −c/a. Если правая часть положительна, есть два корня; если равна нулю — один; если отрицательна — действительных корней нет. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Нужно ли проверять найденные корни подстановкой?
Подстановка помогает убедиться, что найденные значения подходят к исходному уравнению. Особенно полезно проверять корни, когда выполнялись преобразования или раскладывалось произведение. Если решение простое, проверка всё равно не обязательна, но снижает риск ошибки.
§ 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений
