§ 20. Формула корней квадратного уравнения

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c называются коэффициентами: a стоит при x², b — при x, а c является свободным членом. Условие a ≠ 0 нужно, чтобы в уравнении действительно было слагаемое с x². По стандартной записи удобно сразу определить коэффициенты и перейти к решению.

Дискриминант — выражение D = b² − 4ac, составленное из коэффициентов квадратного уравнения. Чтобы его вычислить, возводят b в квадрат и вычитают произведение 4ac, подставляя значения a, b и c вместе с их знаками. Например, если c = −2, то в выражении 4ac подставляют именно −2. Дискриминант нужен, чтобы выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение.

Формула корней квадратного уравнения записывается так: x = (−b ± √D)/(2a). Ею находят корни, если D ≥ 0, то есть когда квадратный корень из дискриминанта существует среди действительных чисел. При D > 0 знак ± даёт два значения, а при D = 0 оба вычисления совпадают. Если D < 0, действительных корней по этой формуле нет.

Как это устроено

Чтобы увидеть, откуда появляется дискриминант, начнём с ax² + bx + c = 0 и умножим обе части на 4a. Получится 4a²x² + 4abx + 4ac = 0, откуда 4a²x² + 4abx = −4ac. К левой части добавим b² и одновременно добавим b² к правой, сохранив равенство. Теперь левая часть становится квадратом двучлена: (2ax + b)² = b² − 4ac, а справа как раз стоит D.

После преобразования имеем (2ax + b)² = D. Если D положителен, его квадратный корень можно взять с двумя знаками: 2ax + b = √D или 2ax + b = −√D. Если D равен нулю, квадратный корень равен нулю и остаётся одно уравнение. Если D отрицателен, квадрат действительного числа не может быть равен D, потому что квадрат не бывает меньше нуля; значит, действительных решений нет.

Именно поэтому знак дискриминанта определяет число действительных корней. При D > 0 два знака перед √D приводят к двум различным значениям x, а при D = 0 — к одному и тому же. При D < 0 извлечь действительный квадратный корень нельзя, поэтому действительных корней нет. Так дискриминант позволяет заранее понять результат ещё до подстановки в формулу.

Знак ± означает не одно действие, а два отдельных вычисления: сначала подставляют плюс, затем минус. При положительном D получают x₁ = (−b + √D)/(2a) и x₂ = (−b − √D)/(2a). Нельзя остановиться после первого вычисления, потому что тогда будет найден только один из двух корней. При D = 0 повторно записывать одинаковый результат не нужно.

Решение удобно выполнять в одном порядке: привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0, определить коэффициенты, вычислить D, а затем выбрать подходящую формулу. Перед подстановкой важно сохранить знаки: например, коэффициент −5 остаётся отрицательным и при возведении в квадрат, и при вычислении произведения. В числителе стоит −b, то есть число, противоположное коэффициенту b. В знаменателе стоит 2a, потому что при преобразовании равенства делят на коэффициент при x, равный 2a, а не просто на 2.

Связь дискриминанта с корнями квадратного уравнения

Сначала вычисли D и найди строку таблицы с подходящим условием. Она подскажет, сколько ответов записать и какую формулу использовать. Если D = 0, достаточно найти корень по сокращённой записи.

Разбор задач

Решить уравнение x² − 5x + 6 = 0.

1. Сравним уравнение со стандартным видом: a = 1, b = −5, c = 6. Все слагаемые уже стоят на нужных местах, поэтому преобразовывать уравнение не требуется.
2. Вычислим дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Он положителен, значит, уравнение имеет два корня и в формуле нужно выполнить оба действия со знаком ±.
3. Подставим коэффициенты: x₁ = (−(−5) + √1)/(2 · 1) = (5 + 1)/2 = 3. Второе значение: x₂ = (−(−5) − √1)/(2 · 1) = (5 − 1)/2 = 2.

Ответ: 2 и 3. Подстановкой можно проверить каждый корень: при x = 2 получается 4 − 10 + 6 = 0, а при x = 3 — 9 − 15 + 6 = 0. Оба значения обращают левую часть уравнения в ноль.

Решить уравнение 2x² + 3x − 2 = 0.

1. Коэффициенты равны a = 2, b = 3, c = −2. Свободный член отрицательный, поэтому в вычислении дискриминанта нужно подставить c со знаком минус.
2. Находим D = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25. Вычитание отрицательного произведения превращается в сложение, поэтому дискриминант положителен и корней будет два.
3. Вычисляем первое значение: x₁ = (−3 + √25)/(2 · 2) = (−3 + 5)/4 = 1/2. Затем используем минус: x₂ = (−3 − 5)/4 = −2.

Ответ: 1/2 и −2. Проверка помогает заметить возможную ошибку со знаком: при x = −2 левая часть равна 8 − 6 − 2 = 0. При x = 1/2 она равна 1/2 + 3/2 − 2 = 0.

Решить уравнение 3x² − 6x + 3 = 0.

1. Определяем коэффициенты: a = 3, b = −6, c = 3. Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому можно сразу находить дискриминант.
2. Получаем D = (−6)² − 4 · 3 · 3 = 36 − 36 = 0. При нулевом дискриминанте будет один действительный корень, а не два различных.
3. Используем формулу для этого случая: x = −b/(2a) = −(−6)/(2 · 3) = 6/6 = 1. Знаки плюс и минус перед √D дали бы один и тот же результат, так как √0 = 0.

Ответ: 1. Проверка: 3 · 1² − 6 · 1 + 3 = 3 − 6 + 3 = 0. Записывать число 1 дважды не нужно, потому что это один и тот же корень.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять в D коэффициенты без их знаков. Например, в уравнении 2x² + 3x − 2 = 0 свободный член равен −2, а не 2; именно этот знак меняет вычисление выражения −4ac. Ошибка часто возникает, когда знак перед числом принимают за отдельную часть записи. Проверь себя: выпиши a, b и c отдельно со знаками, прежде чем считать.

Вторая ошибка — неверно определить коэффициенты, потому что уравнение ещё не приведено к стандартному виду ax² + bx + c = 0. Например, если справа есть ненулевое число, его сначала нужно перенести в левую часть, изменив знак. Иначе свободный член и, следовательно, дискриминант будут выбраны неправильно. Перед решением проверь, что справа стоит ноль, а слева слагаемые расположены по степеням x.

Третья ошибка — потерять знак ± и найти только один корень, хотя D > 0. Такое случается, если формулу сразу воспринимать как одно вычисление. Запиши отдельно вариант с плюсом и вариант с минусом и посчитай оба. В конце проверь, получились ли два разных значения.

Четвёртая ошибка — записать в знаменателе 2 вместо 2a или перепутать знак перед b. Знаменатель 2a получается из формулы преобразования, поэтому коэффициент a нельзя пропускать. А выражение −b означает число, противоположное b: если b = −5, то −b = 5. Перед вычислениями перепиши формулу и подставь коэффициенты в скобках, чтобы не потерять знак.

Связь с другими темами

Перед решением по формуле нужно уметь приводить уравнение к стандартному виду и определять коэффициенты, включая их знаки. Также пригодятся действия с квадратными корнями и вычисления с отрицательными числами, особенно при нахождении D. Формула применяется для решения квадратных уравнений и задач, которые после преобразований сводятся к ним. Значит, навык полезен не только для уравнений, уже записанных в привычном виде.

Что запомнить

• Квадратное уравнение записывают в виде ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
• Дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac.
• При D > 0 уравнение имеет два действительных корня.
• При D = 0 уравнение имеет один действительный корень.
• При D < 0 действительных корней нет.
• Корни при D ≥ 0 находят по формуле x = (−b ± √D)/(2a).