"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами: по коэффициентам можно узнать сумму и произведение корней, а по сумме и произведению — составить уравнение. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение — q. Эти соотношения помогают подбирать целые корни, проверять вычисления и иногда решать уравнение без нахождения дискриминанта.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Буквы a, b и c называют коэффициентами: a стоит при x², b — при x, а c не умножается на переменную. Условие a ≠ 0 нужно, чтобы уравнение действительно было квадратным.
Корни квадратного уравнения — значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство. Например, если при подстановке числа левая часть становится равна нулю, это число является корнем. Понятие корня нужно, чтобы точно понимать, какие значения ищут при решении уравнения.
Приведённое квадратное уравнение — уравнение вида x² + px + q = 0. Его получают, разделив все части уравнения ax² + bx + c = 0 на ненулевой коэффициент a. При этом коэффициент при x² становится равным 1, а другие коэффициенты обозначают p и q.
Теорема Виета — утверждение, которое связывает сумму и произведение корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Она позволяет находить эти значения по записи уравнения, а иногда — подбирать корни без громоздких вычислений. Также связь работает в обратную сторону: по корням можно составить уравнение.
Пусть квадратный трёхчлен имеет корни x₁ и x₂. Тогда его можно записать как a(x − x₁)(x − x₂): при x = x₁ или x = x₂ один из множителей обращается в ноль. Раскроем скобки: a(x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂). В этой записи сразу видны сумма и произведение корней.
Чтобы связать их с коэффициентами, сравним раскрытые скобки с ax² + bx + c. Коэффициент при x в разложении равен −a(x₁ + x₂), а свободный член — ax₁x₂. Значит, b = −a(x₁ + x₂), откуда сумма равна −b/a; также c = ax₁x₂, поэтому произведение равно c/a. Минус в первой формуле появляется из-за знака перед суммой внутри скобок.
Для приведённого уравнения коэффициент при x² уже равен 1, а остальные обозначены p и q. В формулах для общего уравнения достаточно положить a = 1, b = p и c = q: получаем x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q. Поэтому при подборе корней приведённого уравнения достаточно искать пару чисел с такой суммой и таким произведением.
Теорему можно применять и наоборот. Если известны корни x₁ и x₂, выражение (x − x₁)(x − x₂) обращается в ноль именно при этих значениях; чтобы получить нужный коэффициент при x², всё выражение можно умножить на число a. Например, запись a(x − x₁)(x − x₂) = 0 задаёт уравнение с корнями x₁ и x₂ и коэффициентом a при x². Это обратное применение теоремы: известные корни определяют коэффициенты уравнения.
Теорема особенно удобна, если можно быстро подобрать простые целые числа. Для приведённого уравнения сначала учитывают знак произведения: при положительном произведении корни одного знака, при отрицательном — разных знаков. Затем проверяют сумму, потому что подходящее произведение само по себе ещё не гарантирует верную пару. Если легко подобрать числа не получается, это не означает, что корней нет: можно найти их через дискриминант и затем проверить по Виету.
| Вид уравнения | Сумма корней | Произведение корней | Уравнение, составленное по корням |
|---|---|---|---|
| ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 | x₁ + x₂ = −b/a | x₁x₂ = c/a | a(x − x₁)(x − x₂) = 0 |
| x² + px + q = 0 | x₁ + x₂ = −p | x₁x₂ = q | (x − x₁)(x − x₂) = 0 |
Сначала определи, приведённое перед тобой уравнение или нет: это подскажет, какую строку таблицы использовать. Если нужны корни, вычисли указанную сумму и произведение и подбери пару чисел, удовлетворяющую обоим условиям. Если корни уже известны, используй последнюю колонку, чтобы записать уравнение с нужным коэффициентом при x².
Задача 1. Решить уравнение x² − 7x + 12 = 0. Уравнение приведённое, поэтому сумма корней должна быть 7, а произведение — 12. Подберём два множителя числа 12: пара 3 и 4 имеет нужную сумму. Проверим оба условия теоремы, чтобы убедиться, что найденные числа действительно подходят.
Ответ: 3 и 4.
Задача 2. Решить уравнение 2x² − 5x − 3 = 0. Коэффициент при x² не равен 1, поэтому применяем формулы для неприведённого уравнения. Сумма корней равна 5/2, произведение — −3/2; отрицательное произведение подсказывает, что корни имеют разные знаки. Найдём пару, которая одновременно подходит по сумме и произведению.
Ответ: 3 и −1/2.
Задача 3. Составить квадратное уравнение с корнями 4 и −3, если коэффициент при x² равен 2. Когда корни известны, записываем множители, каждый из которых обращается в ноль при одном из этих корней. Множитель для корня 4 — x − 4, а для корня −3 — x + 3. Умножение на 2 задаёт требуемый коэффициент при x².
Ответ: 2x² − 2x − 24 = 0.
Иногда в формуле суммы корней пишут x₁ + x₂ = b/a, забывая минус. Ошибка появляется, если сравнивать коэффициенты, не раскрывая скобки: в разложении перед суммой стоит знак минус. Чтобы себя проверить, раскрой a(x − x₁)(x − x₂) и сравни коэффициент при x с b.
Для неприведённого уравнения могут записать сумму как −b, а произведение как c. Так можно делать только после деления уравнения на a; в общем случае оба результата нужно разделить на a. Проверь себя: если коэффициент при x² не равен 1, в знаменателе формул должны остаться a.
Сумму иногда путают с произведением: связывают сумму со свободным членом или произведение с коэффициентом при x. Причина — попытка запомнить формулы без связи с раскрытием скобок. В разложении −a(x₁ + x₂) стоит при x, а ax₁x₂ является свободным членом, поэтому соотнеси корни именно с этими частями.
При подборе чисел можно проверить только произведение и остановиться на первой подходящей паре. Но пар с одинаковым произведением бывает несколько, и нужной окажется лишь та, у которой верна ещё и сумма. Перед ответом обязательно вычисли обе величины и сравни их с формулами Виета.
Для работы с теоремой Виета нужно знать коэффициенты квадратного уравнения, понимать, что такое его корень, и уметь делить уравнение на ненулевое число. Связь суммы и произведения появляется при разложении квадратного трёхчлена на множители, а корни можно также находить по формуле через дискриминант. В дальнейшем теорема пригодится при решении рациональных уравнений, разложении многочленов на множители и исследовании взаимного расположения корней.
Почему в формуле суммы корней появляется знак «минус»?
После раскрытия скобок в записи a(x − x₁)(x − x₂) коэффициент при x равен −a(x₁ + x₂). При сравнении с ax² + bx + c получаем x₁ + x₂ = −b/a, поэтому появляется минус.
Можно ли применять теорему Виета к неприведённому квадратному уравнению?
Да, для ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a, а произведение — c/a. Делить уравнение на a необязательно, если пользоваться этими формулами.
Как понять, какие числа подбирать для корней?
Сначала найди требуемые сумму и произведение по формулам Виета. Затем подбирай пару чисел, которая одновременно даёт нужную сумму и нужное произведение; можно начать с пар множителей произведения.
Что делать, если корни не являются целыми числами?
Теорема Виета остаётся верной, но подобрать целые числа уже не получится. В таком случае корни можно найти, например, по формуле с дискриминантом, а затем проверить их сумму и произведение.
Можно ли по теореме Виета проверить ответ, найденный по дискриминанту?
Да. Подставь найденные корни в формулы Виета и сравни их сумму и произведение с нужными значениями. Если оба равенства верны, это дополнительная проверка решения.
§ 21. Теорема Виета
