"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Теорема Виета – это правило, которое устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Зная один корень, можно найти другой, не решая уравнение полностью. Это значительно упрощает решение многих задач, особенно при работе с уравнениями, где коэффициенты выражены через переменные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение – это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c – коэффициенты, а x – переменная. Обычно квадратные уравнения решают с помощью дискриминанта, но теорема Виета предлагает альтернативный подход, особенно удобный в некоторых случаях.
Корни квадратного уравнения – это значения переменной x, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное равенство. Корни обозначают как x₁ и x₂.
Приведенное квадратное уравнение – это уравнение, в котором старший коэффициент (a) равен 1. Это важно для применения теоремы Виета в её стандартном виде. Любое уравнение можно привести, разделив обе части на коэффициент при x².
Коэффициенты квадратного уравнения – это числа a, b и c в общем виде ax² + bx + c = 0. В приведенном уравнении x² + px + q = 0, p и q – коэффициенты, связанные с линейным членом и свободным членом соответственно.
Теорема Виета — это не просто формула, а логическое следствие из свойств многочленов. Представьте, что у вас есть квадратный трехчлен (x - x₁)(x - x₂) , где x₁ и x₂ — корни уравнения. Если раскрыть скобки, получится x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Сравнивая это с общим видом приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0, видим, что p = -(x₁ + x₂) и q = x₁x₂. То есть, сумма корней с обратным знаком равна коэффициенту при x, а произведение корней равно свободному члену.
Почему это полезно? Во-первых, иногда проще найти сумму и произведение корней, чем решать квадратное уравнение через дискриминант. Во-вторых, если известны один корень и коэффициент *p* (или *q*), то можно легко найти второй корень. В-третьих, теорема Виета позволяет проверять правильность найденных корней без подстановки их в исходное уравнение.
Важно понимать, что теорема Виета работает только с корнями, которые существуют. Если дискриминант уравнения отрицательный, то корней нет в области вещественных чисел, и теорема Виета в этом случае неприменима.
| Уравнение | Сумма корней (x₁ + x₂) | Произведение корней (x₁ * x₂) |
|---|---|---|
| x² + px + q = 0 | -p | q |
| ax² + bx + c = 0 | -b/a | c/a |
Эта таблица суммирует основные соотношения, установленные теоремой Виета для приведенных и общих квадратных уравнений. Запомните эти формулы – они помогут вам быстро решать задачи.
Задача: Найдите второй корень уравнения x² - 5x + 6 = 0, если известно, что один из корней равен 2.
Ответ: Второй корень уравнения равен 3.
Дискриминант: Теорема Виета тесно связана с дискриминантом. Дискриминант определяет, существуют ли вещественные корни у квадратного уравнения, а теорема Виета описывает связь между этими корнями и коэффициентами.
Разложение квадратного трехчлена на множители: Зная корни квадратного уравнения, можно разложить соответствующий квадратный трехчлен на множители: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂).
Решение задач на составление уравнений: Теорема Виета часто используется при решении задач, где требуется составить квадратное уравнение по известным свойствам его корней.
Что такое корни квадратного уравнения?
Корни квадратного уравнения – это значения переменной (обычно x), при которых уравнение обращается в истинное числовое равенство, то есть, при подстановке этих значений в уравнение, получается верное утверждение. Графически корни квадратного уравнения – это точки пересечения параболы с осью x.
Как теорема Виета помогает решать квадратные уравнения?
Теорема Виета позволяет находить корни квадратного уравнения, зная сумму и произведение корней. Вместо решения сложного уравнения, можно подобрать значения, удовлетворяющие условиям теоремы, и тем самым найти корни.
В каких случаях теорема Виета неприменима?
Теорема Виета применима только к приведенным квадратным уравнениям, то есть, к уравнениям вида x² + px + q = 0. Если уравнение не является приведенным (например, ax² + bx + c = 0), его сначала нужно разделить обе части на коэффициент *a*, чтобы привести к стандартному виду.
3.6 Теорема Виета
