4.6. Теорема Виета

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c называются коэффициентами: a — старший коэффициент, b — коэффициент при x, c — свободный член. Условие a ≠ 0 нужно, чтобы уравнение действительно было квадратным. По коэффициентам можно применять формулы для нахождения и проверки корней.

Приведённое квадратное уравнение имеет вид x² + px + q = 0, то есть его старший коэффициент равен 1. Здесь p — коэффициент при x, а q — свободный член. К такому виду удобно привести любое квадратное уравнение, разделив все его члены на a. Это упрощает формулы, связывающие корни с коэффициентами.

Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. Иными словами, коэффициент при x помогает узнать сумму, а свободный член — произведение. Эти связи позволяют проверять найденные корни, не подставляя каждый из них в исходное уравнение.

Обратная теорема Виета утверждает: если числа u и v имеют сумму −p и произведение q, то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0. Нужно проверить сразу оба условия, а не только произведение или только сумму. Теорема особенно удобна, когда корни можно подобрать среди целых чисел. Она объясняет, почему подходящую пару можно сразу записать как ответ.

Как это устроено

Чтобы перейти от ax² + bx + c = 0 к приведённому уравнению, разделим обе части на a. Делить можно, потому что по определению квадратного уравнения a не равно нулю. Получаем x² + (b/a)x + c/a = 0, то есть p = b/a и q = c/a. При этом корни не меняются: деление обеих частей равенства на одно и то же ненулевое число сохраняет его решения.

Связь корней с коэффициентами можно увидеть, если представить уравнение с корнями x₁ и x₂ в виде (x − x₁)(x − x₂) = 0. После раскрытия скобок получаем x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0. Сравним коэффициенты с x² + px + q = 0: при x стоят числа −(x₁ + x₂) и p, а свободные члены равны x₁x₂ и q. Поэтому x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q.

Для уравнения ax² + bx + c = 0 разделим коэффициенты на a и применим формулы для приведённого уравнения. Здесь p = b/a, а q = c/a, поэтому сумма корней равна −p = −b/a, а произведение — q = c/a. Знак минус в формуле суммы появляется из коэффициента при x после раскрытия скобок. Если исходное уравнение уже приведено, то a = 1 и формулы сразу принимают более простой вид.

Обратная теорема позволяет идти в другую сторону: не вычислять корни по формуле, а найти числа с нужными суммой и произведением. Для уравнения x² + px + q = 0 ищем u и v, для которых u + v = −p и uv = q. Если оба равенства выполняются, то (x − u)(x − v) раскрывается в исходный трёхчлен, значит, u и v действительно его корни. При подборе сначала удобно рассмотреть пары множителей q, а затем проверить их сумму.

Если два корня совпадают, то x₁ = x₂, а их произведение равно x₁². Для приведённого уравнения общий корень тогда равен −p/2, поскольку сумма двух одинаковых корней равна −p. Совпадение корней соответствует нулевому дискриминанту: D = p² − 4q для приведённого уравнения, или D = b² − 4ac для общего вида. При D = 0 квадратное уравнение имеет один различный действительный корень, который считается дважды.

Связь корней квадратного уравнения с коэффициентами

Сначала определите, приведено ли уравнение: если старший коэффициент не равен 1, используйте формулы с делением на a или приведите уравнение к нужному виду. При подборе пары проверяйте одновременно сумму и произведение. Если оба условия выполнены, обратная теорема подтверждает, что числа являются корнями.

Разбор задач

Задача 1. Найти сумму и произведение корней уравнения x² − 7x + 10 = 0. Уравнение приведённое, поэтому применяем теорему Виета без предварительных преобразований. Сравним его коэффициенты с записью x² + px + q = 0: p = −7, q = 10.

1. По формуле сумма корней равна −p. Подставляем p = −7 и получаем −(−7) = 7. Знак минус перед p нужно сохранить.
2. Произведение корней равно q. Здесь q = 10, значит произведение равно 10. Для ответа искать сами корни не требуется.

Ответ: сумма корней равна 7, произведение — 10. В качестве проверки можно заметить, что числа 5 и 2 имеют такую сумму и такое произведение.

Задача 2. Решить уравнение x² + x − 12 = 0, подобрав целые корни. По теореме Виета нужны два числа, произведение которых равно −12, а сумма — −1. Отрицательное произведение означает, что одно число положительное, а другое отрицательное. Переберём пары множителей 12 и выберем подходящие знаки.

1. Рассмотрим пару 3 и 4: чтобы произведение было −12, возьмём числа 3 и −4. Их сумма равна −1, поэтому оба условия выполнены.
2. Запишем найденные числа как корни: x₁ = 3 и x₂ = −4. Проверим подстановкой: 3² + 3 − 12 = 0, а (−4)² − 4 − 12 = 0.

Ответ: 3 и −4. Проверка суммы и произведения показывает, что выбор сделан не только по одному условию и соответствует коэффициентам уравнения.

Задача 3. Решить уравнение 2x² − 5x − 3 = 0 с помощью теоремы Виета. Старший коэффициент равен 2, поэтому сначала приведём уравнение к виду со старшим коэффициентом 1. Делим каждый член на 2, получаем x² − 5/2x − 3/2 = 0.

1. По теореме Виета сумма корней равна 5/2, а произведение равняется −3/2. Целые корни здесь неудобно подбирать, поэтому рассмотрим дробные числа.
2. Числа 3 и −1/2 имеют произведение −3/2 и сумму 5/2. Значит, по обратной теореме Виета они являются корнями приведённого уравнения.
3. Проверим результат в исходном уравнении: при x = 3 получаем 18 − 15 − 3 = 0. При x = −1/2 получаем 1/2 + 5/2 − 3 = 0.

Ответ: x = 3 и x = −1/2. Деление на старший коэффициент не изменило корни, поэтому найденные значения подходят и исходному уравнению.

Типичные ошибки

Для неприведённого уравнения иногда записывают сумму корней −b, а произведение c. Это формулы для приведённого уравнения, поэтому в них забывают учесть деление коэффициентов на a. Для общего вида правильные выражения — −b/a и c/a. Проверьте себя: если разделить исходное уравнение на a, коэффициенты при x и свободный член должны стать b/a и c/a.

В уравнении x² + px + q = 0 можно ошибочно принять сумму корней за p. Такая ошибка возникает, если забыть минус, который появляется при раскрытии (x − x₁)(x − x₂). Всегда сначала запишите формулу x₁ + x₂ = −p, а затем подставьте значение p вместе с его знаком. Если p отрицательно, сумма корней будет положительной.

При подборе пары иногда проверяют только произведение. Тогда можно выбрать числа, которые дают нужное q, но не имеют нужной суммы −p. Проверяйте оба равенства: сложите выбранные числа и перемножьте их. Только пара, подходящая по обоим условиям, подтверждается обратной теоремой Виета.

Обратную теорему нельзя применять, не сверив сумму и произведение чисел с коэффициентами уравнения. Даже если числа выглядят подходящими, уравнение может иметь другие коэффициенты или не быть приведённым. Сначала запишите уравнение в виде x² + px + q = 0, затем сравните сумму с −p и произведение с q. Подстановка найденных значений в уравнение даст дополнительную проверку.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой Виета нужно знать стандартный вид квадратного уравнения, его коэффициенты и способ приведения уравнения к единичному старшему коэффициенту. Эти знания помогают правильно выбрать формулы и не перепутать коэффициенты. Сама теорема пригодится при решении квадратных уравнений, проверке найденных корней и разложении квадратного трёхчлена на множители. Например, если корни x₁ и x₂, то x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂).

Что запомнить

• Для уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p.
• Для уравнения x² + px + q = 0 произведение корней равно q.
• Для уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b/a.
• Для уравнения ax² + bx + c = 0 произведение корней равно c/a.
• Неприведённое уравнение перед подбором корней удобно привести к приведённому.
• Подобранные корни нужно проверить подстановкой или по сумме и произведению.