"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1: x² + px + q = 0. Такой вид удобен тем, что корни сразу связаны с коэффициентами: их сумма равна −p, а произведение — q. Эти соотношения называют теоремой Виета. С их помощью можно подбирать корни, проверять найденные значения и раскладывать квадратный трёхчлен на множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приведённое квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1; его стандартная запись — x² + px + q = 0. Например, x² − 5x + 6 = 0 уже имеет приведённый вид. Он удобен тем, что для такого уравнения можно прямо применять теорему Виета.
В записи x² + px + q = 0 числа p и q — коэффициенты уравнения: p стоит при x, а q является свободным членом, то есть не умножается на переменную. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 имеем p = −5 и q = 6. Если правильно определить эти числа, можно без путаницы составить условия на сумму и произведение корней.
Теорема Виета связывает корни приведённого уравнения x₁ и x₂ с его коэффициентами: x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q. Иными словами, корни должны складываться в число, противоположное p, а при умножении давать q. Эти равенства помогают находить корни подбором и проверять результат, не раскрывая скобки заново.
Начнём с неприведённого уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Чтобы коэффициент при x² стал равен 1, разделим на a обе части уравнения: x² + (b/a)x + c/a = 0. Поэтому в приведённой записи p = b/a, а q = c/a; делить нужно все слагаемые, иначе равенство изменится.
Объяснить соотношения Виета помогает раскрытие скобок. Если корни уравнения — x₁ и x₂, его левую часть можно записать как (x − x₁)(x − x₂). После умножения получаем x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂, а сравнение с x² + px + q показывает: x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q.
Проверка предполагаемых корней устроена так же: сначала складываем их, затем перемножаем. Сумма обязана совпасть с числом −p, произведение — с q. Если хотя бы одно равенство не выполняется, эта пара не может быть корнями данного уравнения, даже если одно из чисел отдельно выглядит подходящим.
Для подбора корней удобно выписать пары чисел с произведением q и проверить, какая из них имеет сумму −p. Например, при положительном q корни одного знака, если их сумма положительна или отрицательна; при отрицательном q числа имеют разные знаки. Подбор даёт кандидатов, но затем их стоит подставить в исходное уравнение: так обнаружатся ошибки в знаках и вычислениях.
Если сумма и произведение корней известны, раскрытие скобок можно выполнить в обратном направлении. Для корней x₁ и x₂ имеем x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂), поскольку коэффициенты при раскрытии скобок совпадают с p и q. Тогда уравнение записывается как (x − x₁)(x − x₂) = 0, а произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
| Что рассматриваем | Запись или соотношение |
|---|---|
| Общий вид | x² + px + q = 0 |
| Связь с уравнением ax² + bx + c = 0 | p = b/a, q = c/a, a ≠ 0 |
| Сумма корней | x₁ + x₂ = −p |
| Произведение корней | x₁x₂ = q |
| Разложение на множители | x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂) |
Сначала найдите в таблице строку, которая соответствует вашей задаче: привести уравнение к стандартному виду или проверить корни. В соотношениях Виета используйте именно коэффициенты уже приведённого уравнения. При разложении подставляйте корни в скобки со знаком минус: это соответствует множителям x − x₁ и x − x₂.
Здесь уравнение уже приведено: p = −5, q = 6. Значит, сумма корней должна быть −p = 5, а произведение — 6. Подбираем пару чисел, которая одновременно подходит под оба условия.
Ответ: 2 и 3. Проверка показала, что оба числа обращают левую часть уравнения в ноль, а их сумма и произведение совпадают с условиями Виета.
Коэффициент при x² равен 2, поэтому пока уравнение не приведённое. Разделим все его слагаемые на 2, а уже затем применим теорему Виета. Это важно: использовать p и q из первоначальной записи напрямую нельзя.
Ответ: 2 и 3. Деление на 2 не изменило корни, потому что обе части равенства разделили на одно и то же ненулевое число.
Свободный член равен −12, поэтому произведение корней равно −12. Зная один корень, можно сразу найти второй; затем по сумме корней определить p. Так мы используем оба соотношения Виета по очереди.
Ответ: второй корень −4, коэффициент p = 1. Проверка подтверждает, что оба найденных числа являются корнями получившегося уравнения.
Ошибка: считать уравнение приведённым, если коэффициент при x² не равен 1. Иногда обращают внимание только на наличие квадрата переменной и забывают про коэффициент перед ним. Из-за этого значения p и q определяют неверно и применяют Виета не к тому виду. Проверьте коэффициент при x²; если он не равен 1, разделите все слагаемые на него.
Ошибка: считать сумму корней равной p. Такую запись легко запомнить по аналогии с коэффициентом при x, но при раскрытии (x − x₁)(x − x₂) перед суммой появляется минус. Поэтому для x² + px + q = 0 сумма равна −p. Самопроверка: подставьте свои значения в равенство x₁ + x₂ = −p.
Ошибка: считать произведение корней равным −q. Минус в скобках может сбить с толку, хотя свободный член при перемножении равен x₁x₂, то есть q. Сверьте формулу с раскрытием (x − x₁)(x − x₂): свободный член получается произведением корней. Если вышло −q, проверьте знаки.
Ошибка: при подборе проверять только сумму или только произведение. Иногда пара подходит по одному условию, и её ошибочно принимают за ответ. Но теорема Виета требует одновременно x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q. Проверьте оба равенства, а затем подставьте найденные числа в уравнение.
Для работы с приведённым уравнением нужно уметь решать квадратные уравнения и находить коэффициенты в стандартной записи. Разложение многочлена на множители помогает понять, откуда берутся формулы Виета, и составить уравнение, если его корни уже известны. В дальнейшем теорема пригодится для решения квадратных уравнений подбором и разложения квадратного трёхчлена на множители. Поэтому навыки приведения уравнения и раскрытия скобок здесь работают вместе.
Как понять, является ли квадратное уравнение приведённым?
Посмотрите на коэффициент перед x² в стандартной записи ax² + bx + c = 0. Если он равен 1, уравнение приведённое; если другое число, уравнение можно привести к такому виду делением на этот коэффициент.
Зачем делить уравнение на коэффициент при x²?
После деления коэффициент при x² становится равен 1, и уравнение принимает вид x² + px + q = 0. Тогда можно применять соотношения Виета: сумма корней равна −p, произведение — q.
Почему сумма корней равна −p, а не p?
При разложении на множители получаем (x − x₁)(x − x₂). Коэффициент при x в этом произведении равен −(x₁ + x₂), а в исходном уравнении он равен p, поэтому x₁ + x₂ = −p.
Можно ли найти корни приведённого уравнения подбором?
Да, если удаётся найти числа, произведение которых равно q, а сумма равна −p. Подбор не всегда удобен, поэтому найденную пару нужно проверить, а при необходимости использовать другой способ решения.
Как проверить найденные корни по теореме Виета?
Сложите найденные числа и перемножьте их. Для уравнения x² + px + q = 0 сумма должна быть равна −p, а произведение — q; дополнительно можно подставить каждое число в уравнение.
4.5. Приведённое квадратное уравнение
