4.4. Решение квадратного уравнения общего вида

Определения и обозначения

Квадратное уравнение общего вида — это уравнение ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, причём a ≠ 0. Коэффициент a умножается на x², коэффициент b — на x, а c называется свободным членом, потому что не содержит переменную. По этим трём коэффициентам можно составить способ решения, который подходит для уравнений разного вида.

Дискриминант квадратного уравнения — выражение D = b² − 4ac. Его вычисляют по коэффициентам уравнения, чтобы определить число действительных корней ещё до их нахождения. Знак дискриминанта также подсказывает, можно ли в формуле корней извлечь квадратный корень из действительного числа.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид x = (−b ± √D)/(2a) и применяется при D ≥ 0. Знак ± означает, что нужно выполнить два вычисления: один раз взять плюс перед √D, другой — минус. Так формула сразу находит оба корня, если они различаются.

Корни квадратного уравнения — это такие значения переменной, при подстановке которых равенство ax² + bx + c = 0 становится верным. Если вместо x поставить корень, левая часть должна равняться нулю. Это определение помогает не только понять ответ, но и проверить его после вычислений.

Как это устроено

Условие a ≠ 0 необходимо потому, что именно член ax² делает уравнение квадратным. Если a равно нулю, этот член исчезает, и остаётся уравнение первой степени или равенство без переменной. Тогда правило для квадратных уравнений применять нельзя: уравнение относится к другому виду и решается иначе.

Чтобы получить формулу корней, начинают с ax² + bx + c = 0 и делят обе части на a. Затем слагаемые с x собирают в квадрат двучлена: для этого к обеим частям добавляют нужное число, чтобы выражение слева стало полным квадратом. После упрощения остаётся равенство вида квадрата выражения и числа, из которого можно извлечь квадратный корень. Выразив x и приведя результат к общей дроби, получают знаменатель 2a и числитель −b ± √(b² − 4ac).

Дискриминант возникает как часть выражения под квадратным корнем при выделении полного квадрата. В ходе преобразований оставшаяся часть равна D, делённому на 4a²; знаменатель положителен, так как a ≠ 0. Поэтому знак этой части совпадает со знаком D. Если D отрицателен, понадобился бы квадратный корень из отрицательного числа, которого нет среди действительных чисел.

Знак D определяет число действительных решений. При D > 0 квадратный корень существует и не равен нулю, поэтому в формуле получаются два разных значения: с плюсом и с минусом. При D = 0 оба варианта совпадают, значит, корень только один. При D < 0 действительных значений под корнем нет, поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Проверка нужна, чтобы убедиться, что при вычислениях не потерян знак и не допущена арифметическая ошибка. Подставьте каждый найденный корень в исходное уравнение, а не только в формулу для дискриминанта. Если после упрощения левая часть равна нулю, значение действительно является корнем. Если равенство не выполняется, нужно перепроверить коэффициенты и вычисления.

Связь дискриминанта с корнями квадратного уравнения

Сначала вычислите D, затем найдите в таблице строку с подходящим условием. Если D положителен, используйте оба знака в формуле; если равен нулю, достаточно записать одно значение. При отрицательном D прекратите вычисления: действительных корней нет.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение x² − 5x + 6 = 0.

1. Сравним уравнение с ax² + bx + c = 0: a = 1, b = −5, c = 6. Минус перед 5 относится к коэффициенту b, поэтому особенно важно не потерять его.
2. Вычислим дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Он положителен, значит, у уравнения два действительных корня.
3. Подставим коэффициенты в формулу: x = (−(−5) ± √1)/(2 · 1) = (5 ± 1)/2. При плюсе получаем x₁ = 6/2 = 3, при минусе — x₂ = 4/2 = 2.

Ответ: x = 2 и x = 3. Проверка: при x = 2 получаем 4 − 10 + 6 = 0, а при x = 3 — 9 − 15 + 6 = 0. Оба значения обращают левую часть в ноль.

Задача 2. Решить уравнение 2x² + 4x + 2 = 0.

1. Определим коэффициенты: a = 2, b = 4, c = 2. Подставим их в выражение для дискриминанта: D = 4² − 4 · 2 · 2 = 16 − 16 = 0.
2. Так как D равен нулю, уравнение имеет один действительный корень: значения с плюсом и минусом перед √D совпадут. По формуле x = (−4 ± √0)/(2 · 2) получаем x = −4/4 = −1.
3. Проверим найденное значение: 2 · (−1)² + 4 · (−1) + 2 = 2 − 4 + 2 = 0. Значит, значение подходит исходному уравнению.

Ответ: x = −1. Здесь один корень, хотя общая формула записана с двумя знаками: при D = 0 оба вычисления дают одно и то же число. Проверка подтверждает, что оно обращает левую часть уравнения в ноль.

Задача 3. Решить уравнение 3x² − 2x + 5 = 0.

1. Запишем коэффициенты: a = 3, b = −2, c = 5. Учитываем, что знак минус перед 2 входит в значение b, а свободный член c положителен.
2. Вычислим D = (−2)² − 4 · 3 · 5 = 4 − 60 = −56. Дискриминант отрицателен, поэтому действительный квадратный корень √D получить нельзя.
3. Сделаем вывод по знаку дискриминанта: при D < 0 уравнение не имеет действительных корней. Подстановка в формулу не даст действительных значений x, поэтому продолжать вычисление корней в действительных числах не нужно.

Ответ: действительных корней нет. Это не означает, что при вычислении возникла ошибка: отрицательный дискриминант может получиться у квадратного уравнения. Он показывает, что в действительных числах ни одно значение x не обращает левую часть в ноль.

Типичные ошибки

• Называют квадратным уравнение, в котором коэффициент при x² равен нулю. Так бывает, если забывают проверить условие a ≠ 0: без члена с x² уравнение уже не квадратное. Перед решением сравните запись с общим видом и убедитесь, что a не равен нулю.

• Неверно определяют коэффициенты, особенно знак b или c. Например, в выражении x² − 5x + 6 коэффициент b равен −5, а не 5; ошибка меняет вычисление D. Запишите уравнение в общем виде, перенесите знаки вместе с числами и проверьте подстановку коэффициентов в формулу.

• Записывают формулу корней без знаменателя 2a или заменяют −b на b. Это может произойти, если запомнить формулу не целиком или не учесть минус перед b. Перед вычислением перепишите x = (−b ± √D)/(2a), проверьте скобки и отдельно подставьте значение b.

• При D < 0 пытаются извлечь квадратный корень и записывают несуществующие действительные корни. Причина ошибки — применение формулы без проверки условия D ≥ 0. Сначала определите знак дискриминанта: если он отрицателен, запишите, что действительных корней нет.

Связь с другими темами

Для решения полезны умения приводить подобные слагаемые, работать с дробями и извлекать квадратные корни. Также нужно знать, как решаются неполные квадратные уравнения и уравнения вида x² + px + q = 0: это частные случаи квадратных уравнений. Формула общего вида помогает решать текстовые задачи, которые после составления уравнения сводятся к квадратному. Она пригодится и при изучении квадратичной функции.

Что запомнить

• Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.
• Дискриминант равен D = b² − 4ac.
• При D > 0 уравнение имеет два действительных корня.
• При D = 0 уравнение имеет один действительный корень.
• При D < 0 действительных корней нет.
• Корни при D ≥ 0 находят по формуле x = (−b ± √D)/(2a).