"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, в котором отсутствует слагаемое с x или свободное слагаемое. Его решают проще, чем общее квадратное: выносят общий множитель либо выражают x² и проверяют знак полученного числа. От этого знака зависит, будет ли у уравнения два действительных корня, один или ни одного. Умение распознавать вид уравнения помогает выбрать верный способ решения и не потерять корень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c называют свободным членом, потому что он не содержит переменную. Эти обозначения помогают увидеть, какие слагаемые есть в уравнении и каким способом его удобно решать.
Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором b = 0 или c = 0, либо оба коэффициента равны нулю. Например, в уравнении 3x² − 12x = 0 нет свободного члена, а в уравнении 2x² − 18 = 0 нет слагаемого с x. Понятие неполного уравнения нужно, чтобы отличать случаи, для которых есть короткие способы решения.
Корень квадратного уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, если при подстановке числа в обе части уравнения их значения совпали, это число является корнем. Определение корня позволяет проверять результат: одного подходящего преобразования недостаточно, ответ должен удовлетворять исходному уравнению.
Неполным уравнение называют потому, что в нём отсутствует одно или несколько слагаемых общего вида ax² + bx + c = 0. При этом коэффициент a всё равно должен быть ненулевым: именно он показывает, что присутствует слагаемое с x². Если a = 0, квадратное слагаемое исчезает, и уравнение становится линейным или ещё проще.
Когда c = 0, уравнение имеет вид ax² + bx = 0. В обоих слагаемых есть общий множитель x, поэтому выражение можно записать как x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: отсюда получают отдельный случай x = 0 и уравнение ax + b = 0.
Когда b = 0, уравнение имеет вид ax² + c = 0. Чтобы оставить квадрат переменной отдельно, перенеси c и раздели обе части на ненулевое a: получится x² = −c/a. Число справа определяет результат, потому что квадрат действительного числа не бывает отрицательным.
Если одновременно b = 0 и c = 0, остаётся уравнение ax² = 0. Поскольку a ≠ 0, обе части можно разделить на a, и получится x² = 0. Равенство выполняется только при x = 0, поэтому другого корня здесь нет.
Уравнение x² = k рассматривают по знаку числа k. При k > 0 подходят два противоположных числа √k и −√k, так как их квадраты равны k. При k = 0 подходит только 0, а при k < 0 решений среди действительных чисел нет, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен.
| Вид уравнения | Условие на коэффициенты | Способ решения | Количество действительных корней |
|---|---|---|---|
| ax² + bx = 0 | c = 0, a ≠ 0 | Вынести x за скобки и приравнять каждый множитель к нулю | Один или два |
| ax² + c = 0 | b = 0, a ≠ 0 | Получить x² = −c/a и рассмотреть знак правой части | Два, один или ни одного |
| ax² = 0 | b = 0 и c = 0, a ≠ 0 | Разделить на a и решить x² = 0 | Один |
Сначала найди отсутствующий коэффициент и выбери соответствующую строку таблицы. Для уравнения ax² + bx = 0 точное число корней зависит от того, совпадают ли решения множителей; для ax² + c = 0 оно определяется знаком числа −c/a. После нахождения корней проверь их подстановкой в исходное уравнение.
Задача: решить уравнение 3x² − 12x = 0. Свободного члена здесь нет, а оба слагаемых содержат x, поэтому удобнее не делить уравнение на x, а вынести этот общий множитель. Тогда правило о произведении, равном нулю, даст все возможные корни.
Ответ: 0; 4.
Задача: решить уравнение 2x² − 18 = 0. Слагаемого с x нет, значит нужно выразить x² и посмотреть, какое число получилось справа. Если оно положительное, появятся два противоположных корня.
Ответ: −3; 3.
Задача: решить уравнение 4x² + 5 = 0. Здесь также отсутствует слагаемое с x, поэтому выразим квадрат переменной. Полученное отрицательное число сразу покажет, возможно ли решение в действительных числах.
Ответ: действительных корней нет.
Ошибка: разделить ax² + bx = 0 на x. Так делают, желая быстрее избавиться от множителя, но деление допустимо только при x ≠ 0, а ноль может быть корнем. Разложи выражение на множители и приравняй к нулю каждый множитель; затем проверь, не потерян ли x = 0.
Ошибка: записать только один корень уравнения x² = k при k > 0. Часто вспоминают лишь положительный квадратный корень, хотя отрицательное число с таким же модулем при возведении в квадрат даёт тот же результат. Записывай x = ±√k и проверяй подстановкой оба значения.
Ошибка: извлекать квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах. Это происходит, если не проверить знак правой части после преобразования. Сначала сравни её с нулём: при отрицательном значении действительных корней нет, поэтому извлекать корень не нужно.
Ошибка: считать квадратным уравнение, в котором a = 0. Если коэффициент при x² равен нулю, слагаемого с квадратом переменной фактически нет, поэтому уравнение уже не квадратное. Проверь коэффициент при x² до решения: он обязан быть ненулевым.
Для решения неполных квадратных уравнений нужны умения приводить подобные слагаемые, раскладывать выражение на множители и решать линейные уравнения. При разложении на множители используется свойство: произведение равно нулю, если хотя бы один его множитель равен нулю. Эти способы пригодятся и при изучении полного квадратного уравнения, а подстановка найденных значений помогает проверять его корни.
Почему уравнение ax² + bx = 0 нельзя сразу разделить на x?
Потому что x может быть равен нулю, а делить на ноль нельзя. Если разделить на x, корень 0 потеряется. Сначала вынеси x за скобки и приравняй к нулю оба множителя.
Когда у уравнения x² = k два корня?
Два действительных корня есть, если k > 0. Тогда x равен √k или −√k: эти числа противоположны, но их квадраты одинаковы.
Что делать, если после преобразования справа получилось отрицательное число?
Если получено x² = k, где k < 0, действительных корней нет. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому он не может равняться отрицательному числу.
Может ли неполное квадратное уравнение иметь только один корень?
Да. Например, у уравнения ax² = 0 единственный корень x = 0. У уравнения x² = k один корень тоже бывает при k = 0.
Как проверить, что найденные числа действительно являются корнями?
Подставь каждое найденное число вместо x в исходное уравнение. Если после вычислений левая часть равна правой, число является корнем; если нет — в решении есть ошибка.
4.3. Неполное квадратное уравнение
