4.2. Понятие квадратного уравнения

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Буква x обозначает переменную, а её наибольшая степень в таком уравнении равна двум. Это определение помогает отличить квадратное уравнение от линейного и сразу увидеть условие, без которого оно перестало бы быть квадратным.

Коэффициенты квадратного уравнения — числа a, b и c: a называют первым коэффициентом, b — вторым, c — свободным членом. Коэффициент показывает, какое число умножается на соответствующую часть выражения: a — на x², b — на x, а c не умножается на переменную. Такое обозначение удобно для записи общих правил решения и сравнения разных уравнений.

Полное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором b и c отличны от нуля. Значит, в его записи присутствуют и член с x, и свободный член, помимо члена с x². Это название позволяет быстро определить, все ли три части стандартной записи представлены.

Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение, в котором b или c равен нулю. Тогда в записи отсутствует член с x, свободный член или оба сразу, но член с x² сохраняется, поскольку a ≠ 0. Различение полных и неполных уравнений нужно, чтобы правильно описать их строение и далее выбирать подходящий способ решения.

Как это устроено

Главный признак квадратного уравнения — ненулевой коэффициент при x². Именно этот член задаёт вторую степень переменной; если его нет, наибольшая степень оставшихся членов будет первой или уравнение вообще не будет зависеть от x. Поэтому запись с x² ещё не гарантирует, что уравнение квадратное: нужно посмотреть, какой коэффициент останется перед ним после упрощения.

Чтобы привести уравнение к стандартному виду, сначала раскрывают скобки, потому что до этого слагаемые могут быть записаны произведениями. Затем все слагаемые переносят в одну часть равенства, меняя их знаки при переносе, а другую часть записывают как ноль. Наконец, приводят подобные слагаемые: складывают отдельно части с x², части с x и числа. Получившаяся запись позволяет сопоставить уравнение с видом ax² + bx + c = 0.

Коэффициенты определяют только после приведения уравнения к стандартному виду. Число перед x² — это a, число перед x — b, а отдельное число без переменной — c; если перед переменной числа не видно, коэффициент равен 1, а если стоит минус — коэффициент равен −1. Например, в −x² + x − 1 = 0 коэффициенты равны −1, 1 и −1. Порядок этих чисел важен: коэффициент при x нельзя перепутать со свободным членом.

Полноту уравнения определяют по двум коэффициентам — b и c, а не по наличию члена с x². Если оба коэффициента ненулевые, присутствуют и bx, и c, значит, уравнение полное. Если b = 0, исчезает член с x; если c = 0, нет свободного члена. В любом из этих случаев уравнение неполное, если только a не равно нулю.

Когда коэффициент при x² равен нулю, произведение ax² становится равным нулю и не влияет на уравнение. Например, при a = 0 выражение ax² + bx + c = 0 превращается в bx + c = 0, то есть в уравнение не второй степени. Поэтому наличие символов x² в промежуточной записи не решает вопрос: после раскрытия скобок и приведения подобных нужно проверить итоговый коэффициент при x².

Виды квадратных уравнений и их признаки

Сначала убедитесь, что уравнение приведено к стандартному виду и коэффициент a не равен нулю. Затем проверьте b и c: если оба ненулевые, уравнение полное, а если хотя бы один равен нулю — неполное. Нулевой коэффициент при x² означает, что уравнение вообще не относится к квадратным.

Разбор задач

Задача 1. Для уравнения −4x² + 7x − 1 = 0 назовите коэффициенты и определите, является ли оно полным. Уравнение уже записано в стандартном виде, поэтому раскрывать скобки или переносить слагаемые не требуется. Нужно сопоставить каждый член с общей формой и проверить значения b и c.

1. Сравним запись −4x² + 7x − 1 = 0 с ax² + bx + c = 0.
2. Коэффициент при x² равен −4, значит, a = −4; коэффициент при x равен 7, значит, b = 7.
3. Число без переменной равно −1, поэтому c = −1. Все три коэффициента ненулевые, в частности b и c отличны от нуля.

Ответ: a = −4, b = 7, c = −1; уравнение полное квадратное. Знак «минус» входит в значение коэффициента, поэтому a и c здесь отрицательные.

Задача 2. Приведите уравнение (x − 2)(x + 3) = 2x² − 5 к стандартному виду и определите его вид. Пока скобки не раскрыты и части равенства не собраны в одной стороне, коэффициенты нельзя надёжно считывать. Поэтому начнём с упрощения левой части.

1. Раскроем скобки: (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6.
2. Получим x² + x − 6 = 2x² − 5. Перенесём всё в левую часть: x² + x − 6 − 2x² + 5 = 0.
3. Приведём подобные: −x² + x − 1 = 0. Значит, a = −1, b = 1, c = −1.

Ответ: стандартный вид — −x² + x − 1 = 0; уравнение квадратное и полное. Коэффициент при x² не равен нулю, а b и c оба ненулевые.

Задача 3. При каких значениях параметра m уравнение (m − 2)x² + 3x + m = 0 является квадратным, а при каких — неполным квадратным? Параметр m влияет на коэффициент при x² и на свободный член, поэтому эти условия нужно проверить отдельно. Коэффициент при x всегда равен 3 и не может стать нулём.

1. Для квадратного уравнения требуется m − 2 ≠ 0, откуда m ≠ 2.
2. Чтобы квадратное уравнение было неполным, нужно b = 0 или c = 0. Здесь b = 3, поэтому b не равен нулю при любом m.
3. Свободный член c = m равен нулю при m = 0. Это значение удовлетворяет условию m ≠ 2, поэтому уравнение при m = 0 неполное квадратное.

Ответ: квадратным уравнение является при m ≠ 2; неполным квадратным — только при m = 0. При m = 2 член с x² исчезает, поэтому уравнение уже не квадратное.

Типичные ошибки

Ошибка — считать квадратным любое уравнение, где встречается x². До раскрытия скобок член с x² может сократиться с другим таким же членом, поэтому его итоговый коэффициент окажется нулём. Проверяйте уравнение после упрощения: если коэффициент при x² равен нулю, оно не квадратное.

Ошибка — называть коэффициенты до приведения уравнения к стандартному виду. При переносе слагаемых меняются знаки, а после раскрытия скобок и приведения подобных коэффициенты могут измениться. Сначала получите равенство ax² + bx + c = 0, затем определяйте a, b и c.

Ошибка — путать второй коэффициент b со свободным членом c. Это часто происходит потому, что оба числа могут выглядеть как отдельные слагаемые в записи. Проверьте, при чём стоит число: перед x — это b, без переменной — c.

Ошибка — считать неполным только уравнение без свободного члена. Неполным оно будет и тогда, когда отсутствует член с x, то есть b = 0; возможны также случаи, когда нулю равны оба коэффициента b и c. Чтобы проверить себя, отдельно посмотрите на оба коэффициента, помня, что a должен оставаться ненулевым.

Связь с другими темами

Чтобы распознавать квадратное уравнение, нужно уметь раскрывать скобки, переносить слагаемые и приводить подобные. Эти действия позволяют получить стандартный вид и верно найти коэффициенты. Понимание этого вида подготавливает к изучению способов решения квадратных уравнений. Коэффициенты a, b и c понадобятся при работе с дискриминантом, формулами корней и графиком квадратичной функции.

Что запомнить

• Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0.
• Главное условие: a ≠ 0.
• a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.
• Полное уравнение имеет ненулевые b и c.
• Если b = 0 или c = 0, уравнение является неполным.
• Перед классификацией уравнение нужно привести к стандартному виду.
• Если a = 0, уравнение квадратным не считается.