4.7. Применение квадратных уравнений к решению задач

Определения и обозначения

Математическая модель задачи — уравнение или система обозначений, описывающие условия задачи с помощью неизвестных величин. Иными словами, она переводит текст в математическую запись, с которой можно работать. Модель помогает увидеть связь между данными и тем, что требуется найти.

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, возникающее при установлении связи между величинами задачи, где a ≠ 0. Оно появляется, например, если при составлении условия переменная умножается сама на себя. Решив такое уравнение, можно получить возможные значения неизвестной величины.

Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Но в текстовой задаче корень — пока только кандидат на ответ. Его нужно сопоставить с исходным смыслом величины и ограничениями условия.

Посторонний корень — найденное значение, которое удовлетворяет уравнению, но не подходит по смыслу или ограничениям задачи. Так бывает, если уравнение описывает больше вариантов, чем допускает ситуация, или при преобразовании не учли запрет на нулевой знаменатель. Такой корень не включают в ответ.

Как это устроено

Сначала выясни, какие величины известны, какую нужно найти и как они связаны. Неизвестную выбирай так, чтобы остальные величины можно было выразить коротко: например, если сумма двух сторон прямоугольника известна, достаточно обозначить одну сторону. Укажи смысл переменной и её допустимые значения. Это помогает не перепутать неизвестное с другими величинами и заранее заметить невозможные варианты.

Затем переведи отношения из текста в математические записи. Если две величины складываются, умножаются или сравниваются, запиши это с помощью соответствующей операции и формулы. Например, площадь прямоугольника равна произведению его сторон, а время движения равно пути, делённому на скорость. Квадратное уравнение часто возникает потому, что одна из величин уже выражена через неизвестную, а условие связывает её с другой: при перемножении выражений появляется x².

Если в уравнении есть дроби, знаменатели должны быть отличны от нуля. Такие ограничения называют областью допустимых значений — это все значения переменной, при которых записи задачи имеют смысл. Кроме того, длина, скорость, время и число выполненных работ не могут быть отрицательными. Поэтому даже верный с точки зрения алгебры корень может оказаться невозможным в реальной ситуации.

После нахождения корней подставь их не только в преобразованное уравнение, но и проверь исходные отношения. Например, скорость по течению должна получиться больше скорости против течения, а сумма затраченных времён — совпасть с указанной в задаче. Такая проверка выявляет ошибки при составлении модели, раскрытии скобок и отборе значений. Если корень нарушает хотя бы одно условие, его отбрасывают.

В конце ответь точно на вопрос задачи, укажи найденные величины и единицы измерения. Если искали время, ответом должны быть дни или часы, а не значение производительности; если стороны — сантиметры или метры. Записывай оба корня только тогда, когда оба подходят условию. Полная формулировка ответа показывает, что вычисления соотнесены с исходной ситуацией.

Этапы решения текстовой задачи с помощью квадратного уравнения

Таблица показывает порядок работы: каждый этап опирается на предыдущий и помогает не потерять смысл условия при вычислениях. Используй её как список для самопроверки, особенно когда в задаче несколько величин или появляются дроби. Перед записью ответа проверь все ограничения и единицы измерения.

Разбор задач

Стороны прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 60 см², а периметр — 34 см. Нужно найти его стороны. Периметр равен удвоенной сумме сторон, значит, сумма сторон равна 17 см. Обозначим одну сторону через x см, тогда другая равна 17 − x см, причём 0 < x < 17.

1. По формуле площади составим уравнение: x(17 − x) = 60.
2. Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть: x² − 17x + 60 = 0.
3. Разложим на множители: (x − 5)(x − 12) = 0, поэтому x = 5 или x = 12.
4. Если первая сторона равна 5 см, вторая равна 12 см; при x = 12 стороны меняются местами. Оба значения положительны, их сумма 17 см, а произведение 60 см².

Оба найденных корня подходят, но описывают один и тот же прямоугольник с переставленными сторонами. Проверка подтверждает и площадь, и периметр: 5 × 12 = 60, а 2 × (5 + 12) = 34. Ответ: стороны прямоугольника — 5 см и 12 см.

Движение катера

Катер прошёл 30 км по течению и 30 км против течения за 4 часа, скорость течения — 2 км/ч. Пусть v км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорости по течению и против течения равны v + 2 и v − 2, а для второй скорости требуется v > 2. Время на каждом участке равно расстоянию, делённому на скорость.

1. Составим уравнение общего времени: 30/(v + 2) + 30/(v − 2) = 4.
2. Умножим обе части на (v + 2)(v − 2), учитывая, что v ≠ 2: 30(v − 2) + 30(v + 2) = 4(v² − 4).
3. После упрощения получим v² − 15v − 4 = 0. По формуле корней v = (15 ± √241)/2.
4. Корень (15 − √241)/2 отрицателен и не удовлетворяет v > 2. Остаётся v = (15 + √241)/2 км/ч.

Проверим выбранное значение в исходном уравнении времени: его подстановка даёт суммарно 4 часа, а обе скорости положительны. Приближённо собственная скорость равна 15,26 км/ч. Ответ: скорость катера в стоячей воде равна (15 + √241)/2 км/ч, или примерно 15,26 км/ч.

Совместная работа

Два рабочих вместе выполняют заказ за 4 дня, а первый один справляется на 6 дней быстрее второго. Пусть первому требуется x дней, тогда второму — x + 6 дней; здесь x > 0. Производительность — часть заказа, выполняемая за день, поэтому производительности равны 1/x и 1/(x + 6) заказа в день.

1. При совместной работе производительности складываются, а весь заказ выполняется за 4 дня: 1/x + 1/(x + 6) = 1/4.
2. Умножим на 4x(x + 6), не забывая, что x ≠ 0 и x + 6 ≠ 0. Получим 4(x + 6) + 4x = x(x + 6).
3. Перенесём слагаемые: x² − 2x − 24 = 0. Разложение на множители даёт (x − 6)(x + 4) = 0, значит, x = 6 или x = −4.
4. Время не может быть отрицательным, поэтому x = 6. Второй рабочий выполняет заказ за 6 + 6 = 12 дней.

Проверка: за день рабочие выполняют 1/6 + 1/12 = 1/4 заказа, значит, весь заказ они выполнят за 4 дня. Оба времени положительны, и первый действительно работает быстрее второго на 6 дней. Ответ: первому рабочему нужно 6 дней, второму — 12 дней.

Типичные ошибки

Выбирают отрицательное значение длины, скорости или времени, потому что оставляют оба корня квадратного уравнения без проверки. Ошибка возникает, если решать только алгебраическую часть и забыть о смысле переменной. Проверь знак каждого корня и ограничения, записанные при введении неизвестной. Отрицательный корень для такой величины в ответ не включают.

Составляют уравнение, смешивая разные единицы, например километры и метры или часы и минуты. Тогда слагаемые могут описывать несопоставимые величины, и даже верные вычисления дадут неверный результат. Перед составлением модели приведи данные к одной системе: например, переведи метры в километры или минуты в часы. После этого ещё раз проверь единицы в формулах.

Теряют скобки при выражении величин через неизвестную или неверно раскрывают их. Например, произведение x(17 − x) нельзя заменять на 17 − x²: оба слагаемых в скобках умножаются на x. Раскрывай скобки поочерёдно и подставляй простое значение для проверки преобразования. Если равенство не сохраняется, найди место ошибки.

Записывают в ответ все корни, не проверяя исходное условие и не сверяя ответ с вопросом. Причина — считать решение уравнения последним этапом задачи, хотя оно даёт лишь возможные значения. Подставь каждый корень в исходные связи и исключи значения, нарушающие ограничения. Затем запиши именно искомую величину с единицами измерения.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны формулы площади, периметра, пути, скорости, времени и производительности, а также умение составлять линейные уравнения. Квадратное уравнение решают знакомыми способами, в том числе с помощью дискриминанта; при задачах с дробями используют преобразования рациональных выражений. Метод продолжает изучение уравнений: текстовое условие сначала превращается в математическую модель, а затем решается алгебраически. Он пригодится в задачах на движение, совместную работу, геометрию и зависимости между величинами, а также при изучении систем уравнений и функций.

Что запомнить

• Сначала анализируют условие, затем вводят неизвестную и только после этого составляют уравнение.
• Неизвестную и все связанные величины нужно записывать с указанием единиц измерения.
• Полученное квадратное уравнение описывает условие задачи, но не заменяет проверку смысла корней.
• Из нескольких корней выбирают только те, которые допустимы по условию задачи.
• Проверять нужно исходные отношения между величинами, а не только правильность преобразований.
• Ответ записывают словами и с единицами измерения.