§ 15. Множество действительных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. К таким числам относятся, например, 5, −3/8 и 0,2. Это определение позволяет проверить, можно ли выразить число отношением целых величин, а не только записать его десятичными цифрами.

Иррациональное число нельзя представить в виде дроби m/n с целыми m и n и ненулевым n. Его бесконечная десятичная запись не повторяет один и тот же блок цифр снова и снова, то есть непериодична. Такое понятие необходимо для чисел вроде √2 и π, которые возникают при измерениях и вычислениях, хотя обычной дробью их не записать.

Действительное число — любое рациональное или иррациональное число; множество всех действительных чисел обозначают ℝ. Например, число 4 рациональное, а √5 иррациональное, но оба они действительные. Это общее множество нужно, чтобы рассматривать на числовой прямой и дроби, и числа, не выражаемые дробями.

Числовая прямая — прямая, каждой точке которой соответствует единственное действительное число, и каждому действительному числу соответствует единственная точка. Направление, начало отсчёта и единичный отрезок задают, где расположены числа. Благодаря этому числовые сравнения можно представить как сравнение положений точек.

Как это устроено

Рациональные числа включают целые числа и обыкновенные дроби, потому что целое число тоже можно записать дробью: например, 7 = 7/1. При делении числителя на знаменатель остатки могут принимать лишь ограниченное число значений. Если остаток стал нулём, десятичная запись заканчивается; если остатки повторились, дальше повторятся и цифры, поэтому запись будет периодической.

Иррациональные числа нужны, чтобы описывать величины, для которых не находится точного отношения двух целых чисел. Например, диагональ квадрата со стороной 1 равна √2, а её длина не может быть выражена обыкновенной дробью. Числа √2 и π поэтому расширяют набор чисел, с которыми можно работать, и позволяют точно обозначать такие величины.

У конечной десятичной дроби после запятой можно убрать запятую и записать число над степенью десяти: например, 0,2 = 2/10 = 1/5. У периодической записи тоже можно получить дробь: повторяющийся хвост при подходящем умножении сдвигается на одинаковое число разрядов и при вычитании исчезает. Поэтому конечные и бесконечные периодические десятичные записи задают рациональные числа.

Все действительные числа объединяют в две группы: рациональные и иррациональные. Они не пересекаются: одно число не может одновременно представляться дробью из целых чисел и не представляться ею. Такое разделение охватывает весь набор действительных чисел, поэтому для каждого числа можно определить, к какой из двух групп оно относится.

На числовой прямой рациональные и иррациональные числа перемешаны: между двумя разными рациональными числами можно найти и другие рациональные, и иррациональные. Чтобы оценить положение числа, сравнивают его с удобными дробями или используют десятичные приближения. Например, если число больше 2,6, но меньше 3, его точка находится между соответствующими отметками; большее число расположено правее меньшего.

Рациональные и иррациональные числа

Сначала по определению или десятичной записи определите, рационально ли число; если нет, оно иррационально. Строка «действительное» показывает, что обе группы входят в одно множество ℝ. Пользуйтесь примерами как образцами, но помните: одного знака корня недостаточно, чтобы назвать число иррациональным.

Разбор задач

Определяем вид числа

Задача: определить, какие из чисел 7, −3/8, 0,2, √5 и π рациональные, а какие иррациональные. Проверим, какие числа можно представить отношением целых чисел или узнать по десятичной записи. Это удобнее, чем пытаться сразу вычислить значение каждого выражения.

1. Число 7 целое, поэтому записывается как 7/1; оно рациональное. Число −3/8 уже представлено дробью с целыми числителем и знаменателем, поэтому оно тоже рациональное.
2. Десятичная дробь 0,2 конечная: 0,2 = 2/10 = 1/5. Значит, 0,2 рациональное число.
3. Число √5 иррационально, так как 5 не является квадратом целого числа и √5 нельзя представить отношением целых чисел. Число π также иррационально: его десятичная запись бесконечна и непериодична.

Ответ: рациональные числа — 7, −3/8 и 0,2; иррациональные — √5 и π. Все перечисленные числа являются действительными. При проверке корня важно учитывать число под знаком корня: корень из полного квадрата может оказаться рациональным.

Периодическую дробь превращаем в обыкновенную

Задача: записать 0,(27) в виде обыкновенной дроби и определить вид числа. Обозначим периодическую десятичную дробь буквой, чтобы избавиться от повторяющихся цифр вычитанием. Здесь период состоит из двух цифр, поэтому при умножении на 100 запятая сдвинется на один полный период.

1. Пусть x = 0,272727… . Тогда 100x = 27,272727… . При записи равенств важно сохранить одинаковый бесконечный хвост после запятой.
2. Вычтем из второго равенства первое: 100x − x = 27,272727… − 0,272727… . Повторяющиеся части сократятся, и получится 99x = 27.
3. Разделим обе части на 99: x = 27/99 = 3/11. Получилась дробь с целыми числителем и знаменателем, значит исходное число рациональное.

Ответ: 0,(27) = 3/11, рациональное число. Вычитание сработало именно потому, что после сдвига запятой периодические хвосты совпали. Для периода из нескольких цифр умножают на соответствующую степень 10.

Сравниваем числа на прямой

Задача: расположить √7, 2,6 и 3 на числовой прямой и сравнить их. Сначала найдём целые границы для √7: число 7 находится между 4 = 2² и 9 = 3². Значит, √7 находится между 2 и 3, но этого пока недостаточно для сравнения с 2,6.

1. Уточним положение корня: 2,6² = 6,76, а 2,7² = 7,29. Так как 6,76 < 7 < 7,29, получаем 2,6 < √7 < 2,7.
2. Число 3 больше 2,7, следовательно, оно больше √7. Итак, числа идут по возрастанию так: 2,6, затем √7, затем 3.
3. Приблизительно √7 ≈ 2,65, поэтому на прямой его точка расположена между отметками 2,6 и 2,7. Приближение помогает оценить положение, но не заменяет точное число √7.

Ответ: 2,6 < √7 < 3. Для проверки границ мы сравнивали квадраты положительных чисел, поэтому знак неравенства сохранился. На числовой прямой меньшему числу соответствует точка левее, а большему — правее.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Так думают, потому что запись кажется бесконечной, но у рационального числа она тоже может быть бесконечной, если цифры периодически повторяются. Проверьте, есть ли повторяющийся блок: 0,(3) = 1/3 — рациональное число.

Ошибка: считать иррациональным каждый квадратный корень. Знак корня сам по себе ничего не решает: √9 = 3, а 3 = 3/1 — рациональное число. Для проверки выясните, является ли подкоренное число полным квадратом, то есть квадратом целого числа.

Ошибка: принимать приближение за точное значение иррационального числа. Например, 1,41 — это округлённое приближение к √2, а не другое обозначение того же числа. Проверьте запись: знак ≈ означает «приблизительно равно», а знак = используют для точного равенства.

Ошибка: думать, что рациональные числа заполняют прямую без промежутков. Между рациональными числами находятся другие числа, в том числе иррациональные, например между 2 и 3 лежит √5. Для самопроверки сравните число с десятичными границами: √5 ≈ 2,24, то есть оно не совпадает с рациональными концами отрезка.

Связь с другими темами

Для работы с действительными числами нужны целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, деление с остатком и квадратный корень. Деление с остатком помогает понять, почему десятичная запись рационального числа заканчивается или становится периодической. Навыки преобразования дробей пригодятся, чтобы распознавать рациональные числа.

Действительные числа используют при решении уравнений и неравенств, сравнении чисел и работе с координатной прямой. Корни и другие иррациональные числа могут появляться в ответах, поэтому важно уметь оценивать их положение. Числовая прямая связывает числа с координатами точек и графиками функций: значения переменной изображают на оси, а пары координат задают точки графика.

Что запомнить

• Каждое рациональное число можно записать в виде m/n, где m и n — целые числа и n ≠ 0.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел.
• Множество действительных чисел обозначают ℝ.
• Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.