§ 4. Множество действительных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. К рациональным относятся целые числа и обыкновенные дроби; например, −3 = −3/1, а 0,75 = 3/4. Конечная десятичная дробь всегда превращается в обыкновенную дробь, а периодическая запись тоже задаёт рациональное число. Это определение позволяет объединить в один вид числа, записанные по-разному.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде дроби m/n с целыми m и n и ненулевым n. Его десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода. Например, √2 и π — иррациональные числа. Такое определение нужно, чтобы отличать числа, которые нельзя точно выразить отношением целых чисел.

Действительное число — рациональное или иррациональное число. Иначе говоря, любое действительное число принадлежит одному из этих двух видов: оно либо представимо дробью m/n, либо нет. Вместе рациональные и иррациональные числа составляют всё множество действительных чисел. Это понятие охватывает числа, с которыми работают при сравнении, вычислениях и построении графиков.

Числовая прямая — прямая, на которой каждому действительному числу соответствует единственная точка, а каждой точке — единственное действительное число. На ней выбирают начало отсчёта, единичный отрезок и направление, в котором числа увеличиваются. Благодаря этому числам можно сопоставлять положения точек и наглядно видеть их порядок. Прямая помогает также приближённо показывать числа, которые нельзя записать конечной десятичной дробью.

Как это устроено

Знакомые целые числа входят в множество рациональных, потому что каждое можно записать дробью со знаменателем 1: например, 5 = 5/1. Обыкновенная дробь уже имеет нужный вид, если её числитель и знаменатель целые, а знаменатель не равен нулю. Конечную десятичную дробь можно превратить в дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее: например, 0,75 = 75/100. Периодическая запись тоже рациональна, потому что повторение цифр позволяет составить дробь, как будет показано в разборе задачи.

Бесконечная непериодическая запись не может быть записью рационального числа: у рационального числа после деления целых чисел либо получается конец, либо остатки начинают повторяться, а вместе с ними повторяются цифры. Если запись не заканчивается и никакой блок цифр не повторяется периодически, число иррационально. Например, √2 = 1,414213… и π = 3,141592… имеют бесконечные непериодические десятичные записи. Многоточие указывает, что цифры продолжаются, а не что число округлено до последнего показанного знака.

Рациональные числа не исчерпывают все действительные: между рациональными числами есть числа, которые нельзя представить дробью, например √2. Иррациональные тоже не составляют всё множество, потому что целые числа и обыкновенные дроби рациональны. Поэтому действительные числа удобно понимать как два непересекающихся вида, вместе покрывающих все точки числовой прямой. Это деление отвечает на вопрос, можно ли точно выразить число отношением целых чисел.

Соответствие чисел и точек прямой сохраняет порядок: если a < b, точка a расположена левее точки b. Это следует из выбранного направления увеличения чисел: при движении вправо значения растут. Поэтому сравнение чисел можно проверить по их положениям, а порядок точек — перевести в неравенство. Например, −2 < 1, поскольку точка −2 лежит левее точки 1.

Чтобы отметить иррациональное число приближённо, сначала находят его десятичное значение с нужной точностью. Например, √2 ≈ 1,4, поэтому на шкале с десятыми его отмечают около деления 1,4; знак минус отражает точку относительно нуля влево. При геометрическом построении длину √2 можно получить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1: по теореме Пифагора её квадрат равен 2. Перенося эту длину на прямую циркулем, получают точное положение √2, а десятичное приближение помогает найти его на размеченной шкале.

Виды действительных чисел и их десятичная запись

Сначала проверьте, можно ли представить число дробью m/n; если запись десятичная, посмотрите, конечна ли она или периодична. Конечная и периодическая записи указывают на рациональное число, а бесконечная непериодическая — на иррациональное. Последняя строка таблицы напоминает, что оба вида вместе составляют множество действительных чисел.

Разбор задач

Задача 1

Определите, какие из чисел 0,75; −3; 0,(6); √5 являются рациональными, а какие — иррациональными. Будем проверять числа по определению и по десятичной записи. Знак числа сам по себе на вид множества не влияет. Важно установить, можно ли записать число дробью с целыми числителем и знаменателем.

1. 0,75 — конечная десятичная дробь: 0,75 = 75/100 = 3/4, значит, число рациональное.
2. −3 = −3/1, поэтому −3 рационально.
3. 0,(6) — периодическая десятичная дробь; она равна 2/3, значит, рациональна.
4. √5 имеет бесконечную непериодическую запись и не представляется дробью целых чисел, поэтому иррациональна.

Ответ: 0,75, −3 и 0,(6) — рациональные числа, √5 — иррациональное. В этой классификации конечная запись и повторяющийся период дают разные внешние формы, но оба признака соответствуют рациональности. Корень √5 нельзя отнести к рациональным только потому, что его значение можно приближённо вычислить.

Задача 2

Запишите число 0,(27) в виде обыкновенной дроби и укажите, к какому множеству оно принадлежит. Период состоит из двух цифр, поэтому удобно сдвинуть запятую на два разряда. Обозначим исходное число буквой x, чтобы получить уравнение. Вычитание двух записей устранит повторяющуюся бесконечную часть.

1. Положим x = 0,272727…
2. Умножим на 100, так как период содержит две цифры: 100x = 27,272727…
3. Вычтем из второго равенства первое: 100x − x = 27,272727… − 0,272727…, откуда 99x = 27.
4. Разделим обе части на 99: x = 27/99 = 3/11.

Ответ: 0,(27) = 3/11, это рациональное действительное число. Вычитание сработало потому, что после сдвига запятой дробные части в двух записях совпали. Сокращённая дробь показывает, что периодическое число действительно представимо отношением целых чисел.

Задача 3

Отметьте на числовой прямой числа √2 и −√3 с точностью до десятых и расположите их вместе с числами −1,4 и 1,5 по возрастанию. Для отметки достаточно найти приближённые значения, но при сравнении важно сохранить знак. Сначала оценим корни, а затем сравним все четыре числа. Особое внимание уделим отрицательным значениям: левее находится то из них, которое меньше.

1. √2 ≈ 1,414…, значит, с точностью до десятых √2 ≈ 1,4.
2. √3 ≈ 1,732…, поэтому −√3 ≈ −1,7.
3. Среди отрицательных чисел −1,7 меньше −1,4; положительные числа расположены правее отрицательных.
4. Числа √2 и −1,4 при сравнении с точностью до десятых дают одинаковое приближение, но точное √2 больше −1,4, поскольку первое положительно, а второе отрицательно.

Ответ: −√3 < −1,4 < √2 < 1,5. На прямой отметьте −√3 около −1,7, −1,4 на соответствующем делении, √2 около 1,4 и 1,5 на делении 1,5. Округлённое значение √2 = 1,4 служит для размещения точки, но само число не равно 1,4.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любое бесконечное десятичное число иррациональным. Её допускают, потому что обращают внимание на бесконечность записи, забывая проверить наличие периода. Например, 0,(6) бесконечно, но равно 2/3. Проверьте, повторяется ли блок цифр: периодическая запись рациональна.

Ошибка — принимать бесконечную непериодическую дробь за конечную дробь, округлённую до нескольких знаков. Округление, например 1,414 для √2, лишь приближает исходное число и не становится точным равенством. Проверьте знак приближения: если отброшенные цифры есть, запись с ограниченным числом знаков — только оценка. Не заменяйте ею точное значение при классификации числа.

Ошибка — полагать, что √a всегда иррационально. Такое заключение возникает из знакомых примеров вроде √2, но √9 = 3, а 3 рационально. Сначала выясните, является ли подкоренное число квадратом целого числа, и только затем делайте вывод. При этом не каждый корень целого числа рационален: например, √5 иррационален.

Ошибка — неверно располагать отрицательные числа на прямой, считая число с большим модулем большим. У отрицательных чисел больший модуль означает, что точка дальше влево от нуля: например, −5 < −2. Проверьте положение относительно нуля и сравните, какая точка левее. Для чисел разных знаков отрицательное всегда меньше положительного.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны навыки работы с целыми числами, обыкновенными и десятичными дробями, а также умение сравнивать числа. Без них трудно определить, является ли запись конечной, сравнить отрицательные значения или найти положение числа на прямой. Понятие действительного числа затем используется при изучении числовых промежутков, уравнений и неравенств. Оно также необходимо для функций и их графиков, где значения и аргументы рассматриваются как действительные числа.

Что запомнить

• Любое рациональное число является действительным.
• Иррациональное число является действительным, но не рациональным.
• Конечная или периодическая десятичная дробь задаёт рациональное число.
• Бесконечная непериодическая десятичная дробь задаёт иррациональное число.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.
• Чем правее точка на числовой прямой, тем больше соответствующее ей число.