§ 12. Множество действительных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа и n ≠ 0. Его десятичная запись либо заканчивается, либо бесконечно продолжается с повторяющейся группой цифр. Например, 0,75 = 3/4, а 0,(3) = 1/3; это определение помогает распознавать числа, с которыми можно работать как с обыкновенными дробями.

Иррациональное число нельзя представить в виде дроби, числитель и знаменатель которой являются целыми числами, а знаменатель не равен нулю. В десятичной записи такого числа цифры идут бесконечно и не образуют повторяющегося периода. Это понятие нужно, чтобы описывать значения, которые не выражаются обыкновенными дробями, например √2.

Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Иначе говоря, множество действительных чисел объединяет оба этих множества и включает все числа, которым можно найти место на числовой прямой. Такое понятие позволяет рассматривать дроби, целые числа и корни в одной общей системе.

Числовая прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, направление и единичный отрезок. Каждому действительному числу соответствует точка этой прямой, а каждой точке — действительное число. Благодаря этому можно наглядно изображать числа и сравнивать их по расположению.

Как это устроено

Сначала в математике используют натуральные числа для счёта: 1, 2, 3 и так далее. Для вычитания, которое может дать отрицательный результат, к ним добавляют ноль и отрицательные числа, получая целые числа. Но целых чисел недостаточно, чтобы выразить, например, половину предмета, поэтому рассматривают рациональные числа — дроби.

Даже рациональных чисел не хватает для описания некоторых геометрических величин. Возьмём квадрат со стороной 1: по теореме Пифагора квадрат диагонали равен 1² + 1² = 2, значит, диагональ равна √2. Это число нельзя записать дробью целых чисел, поэтому для точного описания длины нужны иррациональные числа.

Вид десятичной записи помогает различать рациональные и иррациональные числа. Если делить целые числа друг на друга, остатки повторяются или деление заканчивается, поэтому десятичная запись получается конечной либо периодической. У иррационального числа такого повтора нет: его цифры продолжаются бесконечно без периода.

Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных чисел. Рациональные числа сами по себе не покрывают все точки прямой: между ними есть положения, соответствующие, например, √2. Добавление иррациональных чисел позволяет сопоставить число каждой точке прямой и точку каждому действительному числу.

Чтобы сравнить числа, их можно представить точками на числовой прямой. Точка, расположенная правее, соответствует большему числу, а левее — меньшему; это правило одинаково действует для целых, дробных и иррациональных значений. Если точное положение корня не видно сразу, сначала находят границы, между которыми он лежит, а затем уточняют его приближение.

Рациональные и иррациональные числа

Пользуйся таблицей так: сначала проверь, можно ли представить число обыкновенной дробью, а затем посмотри на его десятичную запись. Одна только бесконечность записи не доказывает иррациональность: нужно выяснить, есть ли период. И рациональные, и иррациональные числа изображаются на числовой прямой.

Разбор задач

Определить, какие из чисел 0,75; −4; √7; 0,(3) являются рациональными, а какие иррациональными.

1. Проверим 0,75: это конечная десятичная дробь, причём 0,75 = 75/100 = 3/4. Значит, число рациональное.
2. Число −4 можно записать как дробь −4/1. Поэтому оно тоже рациональное.
3. В записи 0,(3) цифра 3 повторяется бесконечно. Это периодическая дробь, равная 1/3, значит, число рациональное.
4. Число √7 не является корнем из точного квадрата целого числа. Его нельзя представить дробью целых чисел, поэтому оно иррациональное.

Ответ: рациональные числа — 0,75; −4; 0,(3); иррациональное — √7.

Расположить числа √2, 1,4 и 3/2 в порядке возрастания.

1. Для сравнения переведём дробь 3/2 в десятичную запись: 3/2 = 1,5. Теперь сравниваем числа 1,4, √2 и 1,5.
2. Так как 1,4² = 1,96, а 1,5² = 2,25, число 2 находится между этими квадратами. Значит, 1,4 < √2 < 1,5.
3. Поскольку 1,5 = 3/2, получаем порядок от меньшего числа к большему: 1,4, затем √2, затем 3/2.

Ответ: 1,4 < √2 < 3/2.

Между какими последовательными целыми числами находится −√10? Указать два десятичных приближения числа с точностью до десятых.

1. Сравним 10 с ближайшими квадратами целых чисел: 9 < 10 < 16. Поэтому 3 < √10 < 4, а после смены знака получаем −4 < −√10 < −3.
2. Для уточнения проверим десятые: 3,1² = 9,61, а 3,2² = 10,24. Следовательно, 3,1 < √10 < 3,2, и при смене знака неравенства меняют направление.
3. Значит, −3,2 < −√10 < −3,1. Два десятичных числа, между которыми лежит корень, учитывают отрицательный знак.

Ответ: −√10 находится между −4 и −3; с точностью до десятых: −3,2 < −√10 < −3,1.

Типичные ошибки

Ошибочно считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Так думают, потому что не учитывают повторение цифр: например, 0,(3) бесконечна, но периодична и равна 1/3. Проверяй, есть ли у записи повторяющаяся группа цифр: если есть, число рациональное.

Называть √9 иррациональным, не вычислив корень, — тоже ошибка. Знак корня сам по себе не означает, что число иррационально: √9 = 3, а 3 = 3/1. Перед выводом вычисли корень, если под ним стоит полный квадрат целого числа.

Иногда рациональные числа принимают за все действительные числа. Причина в том, что дроби знакомы раньше, а иррациональные числа встречаются реже; однако √2 тоже является действительным числом. Для проверки вспомни: действительные числа включают и рациональные, и иррациональные.

При сравнении отрицательных чисел можно перепутать порядок и решить, что число с большим модулем больше. На прямой всё наоборот: −4 расположен левее −3, поэтому −4 < −3. Отмечай числа на прямой или проверяй, какое из них находится левее.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о натуральных, целых и рациональных числах, об обыкновенных дробях и десятичной записи. Понимание последовательного расширения числовых множеств помогает увидеть, почему одного набора чисел бывает недостаточно. Действительные числа понадобятся при изучении корней, уравнений и неравенств, а также при построении графиков функций. В этих темах важно уметь находить значения, сравнивать их и изображать на прямой.

Что запомнить

• Любое рациональное число можно представить в виде дроби целых чисел с ненулевым знаменателем.
• Десятичная запись рационального числа конечна или бесконечна периодична.
• Иррациональное число нельзя представить в виде дроби целых чисел.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.