§ 13. Функция у = x^(1/2) ее свойства и график

Определения и обозначения

Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a; его обозначают √a, и он определён при a ≥ 0. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9. Условие «неотрицательное» помогает отличать арифметический корень от двух решений уравнения x² = 9: значением √9 служит только 3.

Функция y = √x каждому допустимому значению x ставит в соответствие его арифметический квадратный корень. Здесь x — аргумент, то есть входное значение, а y — результат вычисления. Такое правило позволяет исследовать зависимость между числами и изображать её графиком.

Область определения функции y = √x — множество всех значений аргумента, при которых выражение √x имеет смысл. Для этой функции допустимы только неотрицательные x. Знание области определения подсказывает, какие значения можно подставлять и где искать точки графика.

Область значений функции — множество всех чисел, которые могут получиться в роли y. У функции y = √x это неотрицательные числа. Эта характеристика нужна, чтобы понимать, какие результаты возможны, и проверять решения уравнений с корнями.

Как это устроено

Корень √x в действительных числах существует лишь тогда, когда подкоренное число неотрицательно: квадрат любого действительного числа не меньше нуля. Поэтому для выражения √x требуется x ≥ 0. Все такие значения подходят, а отрицательные аргументы в область определения не входят.

Значение функции не бывает отрицательным, потому что арифметический корень по определению выбирают неотрицательным. При x = 0 получается √0 = 0, а при любом x > 0 корень положителен. Значит, область значений состоит из чисел y ≥ 0.

Чтобы построить график, выбирают допустимые x, вычисляют √x и отмечают точки с координатами (x; √x). Удобно брать квадраты целых чисел: тогда корень находится без приближений. Например, x = 4 даёт точку (4; 2), а x = 9 — точку (9; 3); после этого точки соединяют плавной линией.

Если x увеличивается, его арифметический квадратный корень тоже увеличивается: большему неотрицательному числу соответствует больший корень. Поэтому функция возрастает на всей области определения. Например, из 4 < 9 следует √4 < √9, то есть 2 < 3.

При x = 0 получаем начало графика — точку (0; 0), а при положительных x значения y также положительны. Поэтому все точки расположены в первой четверти, кроме начала координат, которое лежит на осях. График не продолжается влево от начала координат, потому что при x < 0 функция не определена.

Свойства функции y = √x

Таблица помогает быстро проверить, допустим ли аргумент и каким будет знак значения функции. При построении графика используйте строки с точками как готовые ориентиры, а не как полный список всех точек. График нужно проводить плавно, сохраняя возрастание.

Разбор задач

1. Постройте график функции y = √x, составив таблицу значений для x = 0, 1, 4, 9.

Сначала проверим, допустимы ли выбранные значения: каждое из них неотрицательно, значит, корень существует. Далее вычислим значение функции для каждого аргумента. Полученные пары чисел станут координатами точек графика.

1. Подставляем x = 0: y = √0 = 0, получаем точку (0; 0). При x = 1 имеем y = √1 = 1, значит, следующая точка — (1; 1).

2. Вычисляем оставшиеся значения: √4 = 2 и √9 = 3. Отмечаем точки (4; 2) и (9; 3).

3. Проводим через отмеченные точки плавную возрастающую линию. Влево от точки (0; 0) график не продолжаем, поскольку при отрицательных x корень не определён.

Ответ: график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) и определён при x ≥ 0.

2. Укажите область определения и область значений функции y = √(x − 3).

Подкоренное выражение — x − 3, поэтому сначала выясним, при каких x оно неотрицательно. Решение этого неравенства даст область определения. Затем используем свойство арифметического корня, чтобы определить возможные значения y.

1. Записываем условие существования корня: x − 3 ≥ 0. Прибавляем 3 к обеим частям и получаем x ≥ 3.

2. Следовательно, допустимы все x от 3 и больше, включая 3. Значит, область определения — [3; +∞).

3. Квадратный корень неотрицателен при каждом допустимом x. При x = 3 значение равно нулю, а при увеличении x корень может принимать любые неотрицательные значения.

Ответ: область определения — [3; +∞), область значений — [0; +∞).

3. Найдите точки пересечения графиков y = √x и y = x − 2.

В точке пересечения значения двух функций равны, поэтому приравняем их выражения. При этом обе части должны быть определены, а правая часть x − 2 должна равняться неотрицательному корню. Эти требования сразу дают ограничение x ≥ 2.

1. Составляем уравнение √x = x − 2 и отмечаем условие x ≥ 2. Оно нужно, чтобы правая часть была неотрицательной, как и левая.

2. Возводим обе части в квадрат: x = (x − 2)². Раскрываем скобки и переносим всё в одну сторону: x² − 5x + 4 = 0.

3. Разлагаем на множители: (x − 1)(x − 4) = 0, откуда x = 1 или x = 4. Значение 1 не подходит условию x ≥ 2, а при x = 4 исходное равенство верно: √4 = 4 − 2 = 2.

Ответ: графики пересекаются в точке (4; 2).

Типичные ошибки

• Указывать область определения всех действительных чисел — значит забыть условие существования корня. Такая ошибка возникает, если смотреть только на букву x и не проверять подкоренное выражение. Подставьте отрицательное число: корень из него в действительных числах не существует, значит, область определения ограничена условием x ≥ 0.

• Считать, что функция принимает отрицательные значения, — значит путать арифметический корень с решениями уравнения x² = a. Это происходит, если помнить о двух корнях уравнения, но не учитывать определение знака √a. Проверьте результат возведением в квадрат и помните: символ √ обозначает только неотрицательное число.

• Строить график при отрицательных x нельзя, потому что там выражение √x не имеет действительного значения. Ошибка появляется, когда график мысленно продолжают симметрично относительно оси или просто соединяют точки в обе стороны. Перед построением запишите область определения и не отмечайте точки с x < 0.

• Соединять точки отрезками или прямыми без учёта формы графика неверно: функция возрастает плавно, а не скачками и не по прямой. Обычно так делают, когда принимают несколько вычисленных точек за весь график. Проверьте направление изменения значений и помните, что линия начинается в (0; 0) и не уходит влево.

Связь с другими темами

Перед изучением функции квадратного корня нужно знать определение арифметического корня, условие его существования и уметь находить корни квадратов целых чисел. При x ≥ 0 функции y = √x и y = x² обратны друг другу: одна операция помогает выполнить другую. График и свойства y = √x пригодятся при исследовании функций, а также при решении уравнений и неравенств с корнями.

Что запомнить

• Функция y = √x определена только при x ≥ 0.
• Для любого x из области определения √x ≥ 0.
• Область определения и область значений функции — [0; +∞).
• Функция y = √x возрастает на всей области определения.
• График проходит через начало координат.
• Точки (1; 1), (4; 2), (9; 3) принадлежат графику.
• График функции не имеет точек при x < 0.