"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Арифметический квадратный корень помогает находить неотрицательное число, квадрат которого равен заданному числу. Чтобы считать и упрощать выражения с корнями, используют свойства произведения и частного, а также правила работы с квадратом числа. Они позволяют выносить множители из-под знака корня и вносить их обратно. Главное — следить за условиями формул: под корнем должно быть неотрицательное число, а знак множителя иногда требует модуля.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из числа a — число, квадрат которого равен a. Если a положительно, такими числами являются два противоположных числа; если a = 0, корень только один. Это определение помогает понять, почему при решении уравнения x² = a могут появиться два ответа, а знак √ обозначает только один из них.
Арифметический квадратный корень из числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; его обозначают √a, если a ≥ 0. Например, √25 = 5, а не −5, хотя (−5)² тоже равно 25. Условие a ≥ 0 нужно, чтобы корень существовал среди действительных чисел.
Корнем из произведения называют свойство: если a ≥ 0 и b ≥ 0, то произведение √a · √b является арифметическим квадратным корнем из ab. Это записывают как √(ab) = √a · √b. Правило удобно, когда под корнем можно выделить множители с известными корнями.
Корень из частного задаёт равенство √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0 и b > 0. Здесь b должно быть положительным: на ноль делить нельзя, а подкоренные выражения должны быть допустимыми. Правило позволяет разделить сложную дробь под корнем на числитель и знаменатель.
Знак √a используют только для a ≥ 0, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен: отрицательное число нельзя получить возведением действительного числа в квадрат. Сам результат √a тоже неотрицателен не случайно: этим договорились выбирать из двух возможных корней именно один. Благодаря этому обозначение не вызывает сомнений, когда нужно вычислить корень или сравнить его с другими числами.
Чтобы обосновать √a · √b = √(ab), сначала проверим, что обе части неотрицательны. Затем возведём левую часть в квадрат: (√a · √b)² = ab, поскольку (√a)² = a и (√b)² = b. Получилось неотрицательное число, квадрат которого равен ab, а такое число по определению и есть √(ab); поэтому равенство верно при a ≥ 0 и b ≥ 0.
Свойство частного можно понять похожим способом. Число √a/√b неотрицательно, а его квадрат равен a/b, потому что (√a)² = a и (√b)² = b. Значит, это арифметический корень из a/b; условие b > 0 нужно, чтобы знаменатель не был равен нулю, а a ≥ 0 обеспечивает допустимость корня.
Формула √(a²) = |a| объясняется тем, что при возведении в квадрат знак числа исчезает: a² = (−a)². Из чисел a и −a корень должен выбрать неотрицательное, поэтому получается модуль |a|. Например, при a = −3 имеем √(a²) = √9 = 3, тогда как само a отрицательно и равенство √(a²) = a было бы неверным.
Свойства позволяют преобразовывать выражение в обе стороны. Если под корнем есть квадрат множителя, его можно вынести: √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0; модуль сохраняет правильный знак. Чтобы внести неотрицательный множитель a под корень, его возводят в квадрат: a√b = √(a²b). Для этого a должно быть неотрицательным, иначе левая часть была бы отрицательной, а арифметический корень справа — нет.
| Свойство | Формула и условия | Применение |
|---|---|---|
| Корень из произведения | √(ab) = √a · √b при a ≥ 0, b ≥ 0 | Разделить множители под корнем |
| Корень из частного | √(a/b) = √a / √b при a ≥ 0, b > 0 | Разделить числитель и знаменатель под корнем |
| Квадрат арифметического корня | (√a)² = a при a ≥ 0 | Убрать корень и квадрат |
| Корень из квадрата | √(a²) = |a| при любом действительном a | Учесть знак числа |
| Вынос множителя из-под корня | √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0 | Упростить корень, выделив квадрат |
| Внесение множителя под корень | a√b = √(a²b) при a ≥ 0, b ≥ 0 | Объединить множитель и корень |
Сначала проверь условия выбранной формулы, затем преобразуй выражение. При выносе множителя проверь, не нужно ли поставить модуль. Внесение под корень применяй только к неотрицательному множителю.
Можно вычислить каждый корень отдельно, поскольку числа под корнями неотрицательны. Другой способ — объединить корни по свойству произведения. Оба пути приводят к одному результату и позволяют проверить вычисление.
Вычисление можно проверить возведением ответа в квадрат: 30² = 900. Это совпадает с произведением подкоренных чисел. Ответ: 30.
Чтобы извлечь часть корня, разложим 72 на произведение полного квадрата и другого числа. Полный квадрат выбираем так, чтобы его корень был целым: 72 = 36 · 2. Оба множителя неотрицательны, значит, можно применить свойство корня из произведения.
Множитель 6 уже нельзя вынести дальше: число 2 под корнем не содержит полного квадрата, большего единицы. Проверить результат можно возведением 6√2 в квадрат: получится 72. Ответ: 6√2.
Сначала выделим полный квадрат в числовом множителе: 12 = 4 · 3. Затем используем, что √(x²) = |x|, а не просто x. Условие x < 0 позволит заменить модуль на выражение без знака модуля.
При x < 0 величина −2x положительна, поэтому ответ неотрицателен, как и должен быть арифметический корень. Например, при x = −1 исходное выражение равно √12 = 2√3, и результат −2x√3 тоже равен 2√3. Ответ: −2x√3.
Ошибка: записывать √(a + b) = √a + √b. Так делают, перенося правило для произведения на сумму, хотя возведение √a + √b в квадрат даёт ещё и слагаемое 2√(ab). Проверь себя простым примером: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7, значит, равенство неверно.
Ошибка: считать, что √(a²) = a при любом a. Её допускают, забывая, что арифметический корень неотрицателен, даже если исходное число отрицательно. Подставь a = −2: √(a²) = 2, поэтому правильная формула — √(a²) = |a|.
Ошибка: применять формулу корня из частного, не проверив условия. Если b = 0, дробь не определена; если a < 0, корень из числителя не является действительным. Перед преобразованием убедись, что a ≥ 0 и b > 0.
Ошибка: вносить отрицательный множитель под корень по формуле a√b = √(a²b). При a < 0 левая часть отрицательна, а арифметический корень справа неотрицателен, поэтому равенства быть не может. Проверь знак множителя до применения правила: оно требует a ≥ 0 и b ≥ 0.
Для этой темы нужно знать определение арифметического квадратного корня, свойства степеней, а также правила умножения и деления. Свойства квадратных корней опираются на то, что квадрат корня возвращает подкоренное число, а квадрат произведения равен произведению квадратов. Поэтому знакомые действия с числами помогают понять новые формулы.
Дальше эти свойства пригодятся при преобразовании выражений с корнями, упрощении дробей и решении уравнений. Вынос полного квадрата делает выражение короче, а правила для произведения и частного помогают работать со сложными подкоренными выражениями. Проверка условий не даст получить недопустимый корень или потерять знак.
Почему квадратный корень из числа всегда неотрицателен?
Знак √a обозначает именно арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Если нужны оба числа, возводимые в квадрат к a > 0, их записывают как √a и −√a.
Можно ли извлечь корень из суммы по частям?
Нет, в общем случае √(a + b) не равно √a + √b. Свойство корня из произведения нельзя переносить на сумму или разность.
Почему √(a²) равно модулю a?
И a, и −a при возведении в квадрат дают a², а арифметический корень неотрицателен. Поэтому √(a²) выбирает неотрицательное из чисел a и −a, то есть |a|.
Когда можно вынести множитель из-под знака корня?
Если под корнем есть множитель-квадрат, используют правило √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0. Модуль нужен, потому что значение √(a²) не может быть отрицательным.
Какие условия нужны для свойства корня из частного?
Для равенства √(a/b) = √a/√b необходимо, чтобы a ≥ 0 и b > 0. Знаменатель не может быть нулём, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
§ 14. Свойства квадратных корней
