"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Квадратный корень помогает записывать и упрощать выражения, содержащие числа и переменные под знаком √. Главное — помнить условия существования корня и правильно выделять из подкоренного выражения полные квадраты. Множитель можно вынести из-под корня или внести под него, но при неизвестном знаке переменной появляется модуль. Эти преобразования нужны для вычислений, решения уравнений и дальнейшей работы с алгебраическими выражениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Запись √a имеет смысл только при a ≥ 0. Это условие сразу показывает, можно ли выполнять преобразование.
Вынесение множителя из-под знака корня — это замена √(a²b) на |a|√b при b ≥ 0. Квадрат a² образует полный квадрат, а модуль сохраняет неотрицательность корня. Такое преобразование делает выражение короче и удобнее для вычислений.
Внесение множителя под знак корня означает замену a√b на √(a²b) при a ≥ 0 и b ≥ 0. Множитель сначала возводят в квадрат. Если множитель отрицателен, сначала выносят знак «минус», а под корень вносят только положительную часть.
Преобразование выражения с квадратными корнями — это применение свойств корня и выделение полных квадратов. Например, число 36 или выражение x² можно отделить от других множителей. Цель преобразования — получить более простую и удобную запись.
Из равенства (√a)² = a следует, что корень можно рассматривать как число, квадрат которого возвращает подкоренное выражение. Если a ≥ 0 и b ≥ 0, произведение √a · √b неотрицательно, а его квадрат равен ab. Значит, это произведение и есть арифметический корень из ab: √(ab) = √a · √b.
Свойство частного объясняется похожим образом. При a ≥ 0 и b > 0 число √a / √b определено, неотрицательно, а его квадрат равен a/b. Поэтому √(a/b) = √a / √b; условие b > 0 исключает деление на ноль и гарантирует существование знаменателя.
Если один из множителей под корнем — полный квадрат, его можно представить как a². Тогда √(a²b) превращается в √(a²) · √b. Но √(a²) равно не a, а |a|, поскольку арифметический корень неотрицателен независимо от знака a.
При внесении множителя под корень нужно сохранить значение выражения. Для неотрицательного a верно a = √(a²), поэтому a√b можно записать как √(a²)√b, а затем объединить корни в √(a²b). Если просто написать √(ab), множитель изменится не на a, а фактически на √a.
Упрощение начинают с проверки допустимости: каждый подкоренной объект должен быть неотрицательным, а знаменатель — не равняться нулю. Затем ищут полные квадраты среди числовых и буквенных множителей. После этого применяют свойства корней и проверяют, не нарушены ли условия и знаки.
Таблица помогает выбрать нужное правило по виду выражения и проверить ограничения. Сначала сопоставьте задачу с левым столбцом, затем убедитесь, что выполнено условие. Особенно внимательно проверяйте знак переменного множителя и знаменателя.
| Преобразование | Условие | Результат |
|---|---|---|
| Корень из произведения | a ≥ 0, b ≥ 0 | √(ab) = √a · √b |
| Корень из частного | a ≥ 0, b > 0 | √(a/b) = √a / √b |
| Вынесение множителя из-под корня | b ≥ 0 | √(a²b) = |a|√b |
| Внесение множителя под корень | a ≥ 0, b ≥ 0 | a√b = √(a²b) |
Нужно найти в числе 72 полный квадрат, чтобы отделить его от оставшегося множителя. Наибольший удобный квадрат — 36, потому что 72 = 36 · 2. После этого применяем правило корня из произведения.
Ответ: 6√2. Подкоренное число 2 уже не содержит полного квадрата, поэтому дальнейшее вынесение невозможно.
Переменная x может быть как положительной, так и отрицательной, поэтому при её вынесении понадобится модуль. Число 12 разложим как 4 · 3, где 4 — полный квадрат. Затем объединим квадрат 4 и квадрат x².
Ответ: 2|x|√3. Запись 2x√3 была бы верна только при условии x ≥ 0.
Все корни определены, а √4 не равен нулю, поэтому свойства произведения и частного применять можно. Удобно сначала объединить корни в числителе, а затем разделить на значение знаменателя. Такой порядок уменьшает количество вычислений.
Ответ: 15. Можно было сначала упростить √20 = 2√5, но результат будет тем же.
Ошибка: записывать √(a²) = a без условия a ≥ 0. Так делают, забывая о возможном отрицательном значении переменной. Проверка: подставьте a = −3 — правильный результат равен 3, то есть |a|.
Ошибка: применять √(ab) = √a · √b, если один множитель отрицателен. Причина — механическое использование знакомой формулы без проверки области определения. Сначала убедитесь, что оба подкоренных выражения неотрицательны.
Ошибка: вносить множитель под корень без возведения в квадрат и писать a√b = √(ab). Так теряется исходное значение множителя. Для самопроверки раскройте правило справа: правильно должно получаться √(a²)√b = a√b при a ≥ 0.
Ошибка: использовать свойство частного при нулевом знаменателе или недопустимом корне. Обычно проверяют только вид формулы и забывают об ограничениях. Перед делением проверьте b > 0 и неотрицательность всех подкоренных выражений.
Для этой темы нужны определение арифметического квадратного корня и условие неотрицательности подкоренного выражения. Также пригодятся разложение чисел и выражений на множители, формула квадрата произведения и свойства модуля. Освоенные преобразования затем используются при упрощении выражений, решении уравнений и изучении новых задач с квадратными корнями.
Почему √(x²) равно |x|, а не просто x?
Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Если x отрицателен, то √(x²) = −x, поэтому общее правило записывают так: √(x²) = |x|.
Когда можно разбить корень из произведения на произведение корней?
Правило √(ab) = √a · √b применяют, когда a ≥ 0 и b ≥ 0. При отрицательном подкоренном множителе арифметический корень в действительных числах не определён.
Как понять, какой множитель можно вынести из-под корня?
Нужно найти под корнем множитель, который является полным квадратом: 4, 9, 16, x² и так далее. Его представляют в виде квадрата, а затем выносят за знак корня с модулем, если знак множителя неизвестен.
Почему при внесении множителя под корень его нужно возвести в квадрат?
При внесении множителя a под корень выражение должно сохранить прежнее значение. Поэтому a заменяют на √(a²): получается a√b = √(a²b) при a ≥ 0.
Можно ли применять свойства квадратного корня к отрицательным числам?
В рамках арифметического квадратного корня действительными числами подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Поэтому свойства корня применяют только при выполнении соответствующих условий.
§ 15. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня
