"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Модуль действительного числа показывает, насколько далеко число находится от нуля на координатной прямой. Поэтому модуль не бывает отрицательным, а у противоположных чисел он одинаковый: они расположены по разные стороны от нуля на равном расстоянии. Расстояние между любыми числами a и b выражают формулой |a − b|. Эти идеи помогают раскрывать модули выражений и решать уравнения вида |x − a| = r.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модулем действительного числа a называют число |a|, определяемое так: если a ≥ 0, то |a| = a, а если a < 0, то |a| = −a. Знак | | вокруг числа или выражения показывает, что нужно применить это правило. Например, для положительного числа модуль не меняет его значение. Для отрицательного числа модуль даёт противоположное число.
Геометрический смысл модуля: |a| — это расстояние от числа a до нуля на координатной прямой. Расстояние не учитывает, с какой стороны от нуля находится точка, и потому выражается неотрицательным числом. Такое понимание помогает представить модуль как длину отрезка от нуля до точки a. Оно также объясняет, почему одинаковый модуль могут иметь два разных числа.
Расстояние между числами a и b на координатной прямой выражается модулем их разности: |a − b|. Разность показывает, насколько координаты отличаются с учётом направления, а модуль оставляет только величину расстояния. Например, для чисел 2 и 7 получаем |2 − 7| = 5. Формула работает и тогда, когда числа расположены в обратном порядке, поскольку |a − b| = |b − a|.
Модуль неотрицателен, потому что он равен длине отрезка, а длина не может быть меньше нуля. Если число a уже неотрицательное, расстояние от нуля до него равно самому a. Если a отрицательно, его противоположное число −a положительно и показывает ту же длину. Поэтому у a и −a одинаковый модуль: точки симметричны относительно нуля.
Чтобы раскрыть модуль выражения, нужно узнать знак всего выражения внутри него. Когда выражение неотрицательно, модуль не меняет его: |A| = A. Когда A отрицательно, запись |A| = −A означает, что берут противоположное выражение и получают положительное значение. Минус ставят перед всей скобкой, потому что меняют знак каждого слагаемого: например, −(x − 4) = −x + 4. Если знак выражения зависит от неизвестного, рассматривают подходящие случаи.
На числовой прямой модуль изображают как длину отрезка, а не как направленное перемещение. Перемещение может быть направлено влево или вправо и иметь знак, а длина отрезка всегда неотрицательна. Например, числа −3 и 3 оба отстоят от нуля на три единицы, поэтому их модули равны. На графике y = |x| для x ≥ 0 получается прямая y = x, а для x < 0 — y = −x. В точке x = 0 значение модуля равно нулю.
Вычисляя модуль выражения, сначала определяют его знак при заданных условиях, а затем применяют определение. Если знак не выяснить, легко оставить отрицательное значение под модулем и получить неверный ответ. Например, при x < 4 выражение x − 4 отрицательно. Значит, |x − 4| = −(x − 4), после раскрытия скобок получается 4 − x.
Уравнение |x − a| = r при r > 0 сравнивает расстояние от x до a с числом r. На прямой на расстоянии r от точки a находятся две точки: справа координата a + r, слева — a − r. Поэтому уравнение распадается на два случая: x − a = r или x − a = −r. Если r = 0, остаётся одна точка x = a, а при r < 0 решений быть не может, ведь модуль неотрицателен.
| Случай или свойство | Условие | Результат |
|---|---|---|
| Определение модуля | a ≥ 0 | |a| = a |
| Определение модуля | a < 0 | |a| = −a |
| Неотрицательность | любое действительное a | |a| ≥ 0 |
| Модуль противоположных чисел | любое действительное a | |−a| = |a| |
| Расстояние между числами | любые действительные a и b | расстояние равно |a − b| |
В таблице сначала найдите строку, условие которой подходит к вашему числу или выражению. Затем примените указанный результат, проверив знак под модулем. Для расстояния между двумя числами используйте последнюю строку независимо от порядка чисел.
Вычислите |−7| и |3|. Здесь даны два числа разного знака, поэтому для каждого отдельно выбираем нужную часть определения. Отрицательное число нужно заменить противоположным, а неотрицательное оставить без изменения. Так мы сразу проверяем, что оба результата неотрицательны.
Раскройте модуль |x − 4|, если x < 4. Условие позволяет определить знак выражения: из x < 4 следует x − 4 < 0. Значит, нельзя просто убрать знаки модуля, иначе выражение осталось бы отрицательным. Нужно взять противоположное всему выражению в скобках.
Решите уравнение |x − 2| = 3. Модуль показывает расстояние от x до числа 2, значит, нужно найти точки, удалённые от 2 на три единицы. На прямой одна точка будет справа от 2, другая — слева. Алгебраически это означает, что выражение под модулем может равняться как 3, так и −3.
Ошибка: считать модуль равным самому числу при любом знаке. Так поступают, перенося правило |a| = a на отрицательные числа. Но для отрицательного числа нужно взять противоположное: например, |−7| = 7. Проверка простая: результат модуля не должен быть отрицательным.
При раскрытии модуля отрицательного выражения иногда меняют знак только у первого слагаемого или вовсе забывают минус. Это происходит, когда не ставят скобки вокруг всего выражения. Например, |x − 4| при x < 4 равно −(x − 4) = −x + 4, а не −x − 4. Проверьте раскрытие умножением каждого слагаемого на −1.
В уравнении |A| = r при r > 0 нельзя рассматривать только A = r. Модуль убирает знак, поэтому одному положительному значению r могут соответствовать два значения выражения: A = r и A = −r. Чтобы проверить решение, подставьте оба найденных варианта в исходное уравнение. Если r = 0, случаи совпадают, а при r < 0 решений нет.
Не путайте модуль числа и расстояние от него до другого числа. |a| измеряет расстояние от a до нуля, а расстояние между a и b выражается как |a − b|. Ошибка возникает, если во второй ситуации взять модуль только одного числа. Для самопроверки представьте точки на прямой и убедитесь, что формула учитывает обе координаты.
Чтобы уверенно работать с модулем, нужно знать действительные числа, противоположные числа, сравнение чисел и координатную прямую. Эти знания помогают определить знак выражения и понять, где расположены точки. Геометрический смысл модуля понадобится при изучении уравнений и неравенств с модулем. Формула |a − b| будет использоваться для записи расстояния между точками на прямой.
Может ли модуль числа быть отрицательным?
Нет. Модуль — это расстояние от числа до нуля, а расстояние не бывает отрицательным. Поэтому для любого действительного a выполняется |a| ≥ 0.
Почему модуль отрицательного числа положителен?
Модуль показывает расстояние до нуля, а не положение числа слева или справа от него. Например, число −5 находится от нуля на расстоянии 5, значит, |−5| = 5.
Как раскрыть модуль, если неизвестно, положительно ли выражение под ним?
Сначала нужно определить знак выражения внутри модуля. Если это сделать нельзя без дополнительных условий, рассматривают случаи: выражение неотрицательно и выражение отрицательно. В первом случае модуль оставляют без изменения, во втором берут противоположное выражение.
Почему у числа и противоположного ему числа одинаковый модуль?
Числа a и −a находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Поэтому |−a| = |a|.
Как решить уравнение с модулем через расстояние?
В уравнении |x − a| = r выражение задаёт расстояние от x до a. Если r > 0, на прямой есть две точки на таком расстоянии: x = a + r и x = a − r. Их подставляют в исходное уравнение для проверки.
§ 16. Модуль действительного числа
