§ 5. Модуль действительного числа

Определения и обозначения

Модулем действительного числа a называют расстояние от точки a до нуля на координатной прямой. Обозначение — |a|. Поэтому |a| = a при a ≥ 0 и |a| = −a при a < 0: положительное число уже равно своему расстоянию, а отрицательное заменяют противоположным.

Для любого действительного a выполняется |a| ≥ 0, поскольку расстояние не бывает отрицательным. Равенство |a| = 0 возможно только при a = 0: лишь ноль удалён от нуля на нулевое расстояние. Это свойство помогает, например, сразу понять, что уравнение |x| = −2 решений не имеет.

Модуль разности двух чисел |a − b| показывает расстояние между точками a и b на числовой прямой. Например, расстояние между 2 и 7 равно |2 − 7| = 5. Порядок вычитания не меняет расстояния, потому что |a − b| = |b − a|.

Уравнение |x − a| = r описывает все точки x, находящиеся от числа a на расстоянии r. Если r положительно, это обычно две точки: a − r и a + r; если r = 0 — одна точка a. Такое толкование помогает не только решать уравнения, но и понимать условия с модулем на прямой.

Как это устроено

Определение модуля непосредственно следует из идеи расстояния. Если число находится справа от нуля, оно неотрицательно, а длина отрезка до нуля равна самому числу. Если число слева от нуля, оно отрицательно, но длина отрезка положительна и равна числу, взятому с противоположным знаком. Поэтому кусочная формула учитывает, с какой стороны от нуля расположена точка.

Неотрицательность и равенство |a| = 0 также объясняются расстоянием: длина отрезка не может быть меньше нуля, а нулевую длину имеет только отрезок с совпавшими концами. Числа a и −a расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Поэтому |−a| = |a|; например, |−4| = |4| = 4.

Чтобы раскрыть |A|, нельзя заранее убрать знаки модуля, не выяснив знак выражения A. При A ≥ 0 модуль не меняет выражение, а при A < 0 меняет его знак на противоположный. Если знак зависит от переменной, находят, где A равно нулю, и разделяют числовую прямую на промежутки. На каждом промежутке раскрывают модуль по подходящей формуле, сохраняя соответствующее условие.

Уравнения и неравенства с модулем можно читать как условия о расстоянии. Например, |x − a| < r при r > 0 означает, что x ближе чем на r к числу a, то есть a − r < x < a + r. Условие |x − a| > r означает, что x находится дальше чем на r, поэтому x < a − r или x > a + r. При r = 0 или r < 0 ответ проверяют отдельно с учётом неотрицательности модуля.

Модуль произведения равен произведению модулей: |ab| = |a||b|, поскольку длины множителей перемножаются без учёта их знаков. Аналогично, при b ≠ 0 выполняется |a/b| = |a|/|b|. Неравенство треугольника |a + b| ≤ |a| + |b| выражает идею, что прямой путь не длиннее пути через промежуточную точку; поэтому модуль суммы может быть меньше суммы модулей, но не больше неё.

Основные свойства модуля действительного числа

Сначала используйте строку, которая соответствует виду выражения, а затем проверьте её условия: особенно знак подмодульного выражения и ограничение b ≠ 0. Геометрическая строка помогает перевести уравнение или неравенство в описание точек либо промежутка.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить |−7| + |3 − 8|. Здесь первое число отрицательное, а во втором слагаемом сначала нужно выполнить вычитание. После этого каждый модуль можно истолковать как расстояние до нуля.

1. По определению |−7| = 7.
2. Вычисляем разность: 3 − 8 = −5, поэтому |3 − 8| = |−5| = 5.
3. Складываем полученные значения: 7 + 5 = 12.

Ответ: 12.

Задача 2. Раскрыть |2x − 6| при x < 3 и при x ≥ 3. Знак выражения внутри модуля меняется в точке, где 2x − 6 = 0. Найдём эту точку, чтобы выбрать правильную формулу для каждого условия.

1. Решаем уравнение 2x − 6 = 0: x = 3.
2. Если x < 3, то 2x − 6 < 0, значит, |2x − 6| = −(2x − 6) = 6 − 2x.
3. Если x ≥ 3, то 2x − 6 ≥ 0, значит, |2x − 6| = 2x − 6.

Ответ: при x < 3 получаем 6 − 2x, при x ≥ 3 — 2x − 6. На границе x = 3 обе записи дают ноль.

Задача 3. Решить уравнение |x − 2| = 5 и неравенство |x − 2| < 5. Оба выражения задают расстояние от x до числа 2, поэтому сначала определим, какие точки или промежуток удовлетворяют каждому условию. Радиус в обоих случаях равен 5.

1. Для уравнения расстояние от x до 2 должно быть ровно 5. Значит, x = 2 − 5 или x = 2 + 5.
2. Получаем два решения уравнения: x = −3 и x = 7.
3. Для неравенства расстояние должно быть меньше 5, то есть x находится между 2 − 5 и 2 + 5.
4. Записываем промежуток: −3 < x < 7.

Ответ: уравнение имеет решения −3 и 7; решение неравенства — интервал (−3; 7).

Типичные ошибки

Ошибка: считать модуль отрицательным, если отрицателен его аргумент. Так происходит, когда знак числа переносят на значение модуля, забывая, что модуль означает расстояние. Проверка простая: результат должен быть неотрицательным, поэтому |−6| = 6, а не −6.

Ошибка: раскрывать |A| как A, не проверив знак A. Это верно только при A ≥ 0; при A < 0 нужно записать −A. Чтобы проверить себя, подставьте значение переменной из рассматриваемого промежутка и убедитесь, что раскрытая запись неотрицательна и совпадает с исходным модулем.

Ошибка: раскрывать модуль суммы по частям и считать, что |a + b| = |a| + |b| всегда. Сумма чисел разных знаков может сократиться: например, |2 + (−2)| = 0, тогда как |2| + |−2| = 4. Подстановка такого примера показывает, что равенство не является общим правилом; верно лишь |a + b| ≤ |a| + |b|.

Ошибка: находить для |x − a| = r только значение x = a + r. При r > 0 на расстоянии r от a есть точка и слева, и справа: a − r и a + r. Проверьте ответ на прямой или подстановкой в уравнение; при r = 0 решение одно, а при r < 0 решений нет.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно работать с модулем, нужно понимать координатную прямую, противоположные числа и сравнение действительных чисел. При раскрытии модуля выражения также пригодятся решение простых уравнений и неравенств: нужно найти, где выражение меняет знак, и рассмотреть подходящие промежутки. Геометрическое прочтение связывает вычисления с расстояниями на прямой.

Модуль используется при решении уравнений и неравенств, а также при оценке погрешностей и расстояний. Позже он встречается при изучении функций: графики с модулем помогают увидеть, как знак выражения влияет на его значение. Понимание расстояния позволяет проверять ответы не только вычислениями, но и геометрически.

Что запомнить

• |a| — расстояние от числа a до нуля.
• |a| ≥ 0; |a| = 0 только при a = 0.
• Если a ≥ 0, то |a| = a; если a < 0, то |a| = −a.
• |−a| = |a|.
• |a − b| — расстояние между числами a и b.
• |ab| = |a||b|.
• |a + b| ≤ |a| + |b|.