§ 14. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

Определения и обозначения

Квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Его записывают √a; число a называют подкоренным выражением. Например, √25 = 5, потому что 5² = 25, а отрицательное число −5 не подходит: значение корня по определению неотрицательно. Это определение помогает не путать корень с решением уравнения x² = a, у которого иногда два корня.

Выражение √a имеет смысл в действительных числах, если a ≥ 0. Это условие называют областью допустимых значений: оно показывает, при каких значениях букв выражение можно вычислять. Например, √(x − 3) определён только при x ≥ 3. Проверка этого условия нужна до преобразования, чтобы не выполнять действия с несуществующим в действительных числах корнем.

Модуль числа |a| — это расстояние от числа a до нуля, поэтому |a| всегда неотрицателен. Для любого действительного a выполняется √(a²) = |a|: если a отрицательно, корень возвращает противоположное ему положительное число. Это обозначение особенно важно при выносе буквенного множителя из-под корня, когда знак буквы заранее неизвестен.

Как это устроено

Корень из произведения двух неотрицательных чисел можно заменить произведением корней: √(ab) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0. Причина в том, что произведение √a · √b неотрицательно, а его квадрат равен ab. Например, √(9 · 4) = √9 · √4 = 3 · 2 = 6. Свойство позволяет разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них оказался полным квадратом.

Похожее правило действует для частного: √(a/b) = √a/√b при a ≥ 0 и b > 0. Квадрат дроби √a/√b равен a/b, а сама дробь неотрицательна; условие b > 0 нужно, потому что делить на ноль нельзя. Например, √(49/25) = 7/5. В буквенных выражениях условия на знаменатель проверяют отдельно, даже если преобразование выглядит привычным.

Если под корнем стоит квадрат множителя, то √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0. Множитель a² можно представить как произведение двух одинаковых множителей, а корень из этого квадрата равен |a|; оставшийся b остаётся под корнем. Так, √(12x²) = √(4 · 3 · x²) = 2|x|√3. Если известно, что x ≥ 0, модуль можно убрать, и получится 2x√3.

Число, умноженное на корень, иногда удобно внести под знак корня: c√a = √(c²a) при c ≥ 0 и a ≥ 0. Равенство получается потому, что квадрат множителя c равен c², а обе части неотрицательны. Например, 3√2 = √18. Если множитель отрицательный, его знак нельзя просто потерять: −3√2 = −√18, а не √18.

После упрощения корней могут появиться одинаковые подкоренные выражения, и тогда такие слагаемые складывают: 2√5 + 7√5 = 9√5. Это похоже на сложение подобных слагаемых с буквами: складываются коэффициенты, а общий корень сохраняется. Но √2 и √3 не являются подобными, поэтому √2 + √3 нельзя заменить одним корнем по правилу сложения. Сначала каждый корень упрощают, выделяя полные квадраты, и только потом проверяют, появились ли одинаковые корни.

Основные преобразования с квадратными корнями

Таблица показывает, какое преобразование можно выполнить и при каких условиях оно верно. В графе с условиями указаны ограничения, которые нельзя опускать при работе с буквами. Пользуйся таблицей после того, как проверишь область допустимых значений исходного выражения.

Разбор задач

Упростим выражение √(75x²) − 2√12 при условии x < 0. Здесь нужно отдельно преобразовать каждый корень: в первом выражении выделить квадратный числовой множитель и квадрат x, а во втором — квадратный множитель числа 12. Условие x < 0 понадобится, чтобы правильно заменить |x|. После этого можно будет объединить только слагаемые с одинаковым корнем.

1. Разложим подкоренное выражение 75x² на множители: 75x² = 25 · 3 · x². Числа 25 и x² являются квадратами, поэтому √(75x²) = 5|x|√3. Поскольку по условию x < 0, имеем |x| = −x, значит первый корень равен −5x√3.

2. Во втором корне выделим полный квадрат: 12 = 4 · 3. Тогда √12 = 2√3, а выражение −2√12 становится −2 · 2√3 = −4√3. Коэффициент −2 перед исходным корнем сохраняет свой знак при преобразовании.

3. Теперь исходное выражение имеет вид −5x√3 − 4√3. У обоих слагаемых одинаковая подкоренная часть √3, поэтому выносим её за скобки: (−5x − 4)√3. Складывать или вычитать можно коэффициенты, но сам общий корень остаётся.

Ответ: (−5x − 4)√3 при x < 0.

Проверим ход решения на значении x = −1, которое удовлетворяет условию. Исходное выражение тогда равно √75 − 2√12 = 5√3 − 4√3 = √3. Полученная формула даёт (5 − 4)√3 = √3, значит знак и коэффициенты согласуются.

Типичные ошибки

• Записывать √(a²) = a без проверки знака. Так делают, вспоминая, что корень и квадрат «сокращаются», но при a < 0 правая часть отрицательна, а корень всегда неотрицателен. Проверка: подставь отрицательное значение, например a = −2; верно √(a²) = 2 = |a|.

• Применять √(ab) = √a · √b, не проверив знаки множителей. Свойство в действительных числах требует, чтобы оба подкоренных множителя были неотрицательны. Перед разложением проверь каждый множитель и убедись, что исходный и новые корни определены.

• Складывать корни по правилу √a + √b = √(a + b). Такое правило не работает: например, √4 + √9 = 5, а √13 не равно 5. Проверить преобразование можно возведением предполагаемого равенства в квадрат или вычислением на простых числах.

• Терять знак минус при внесении множителя под корень. Равенство c√a = √(c²a) относится к неотрицательному c; при отрицательном множителе знак должен остаться перед корнем. Для проверки сравни знаки частей: корень справа неотрицателен, поэтому отрицательное исходное выражение без минуса ему равняться не может.

Связь с другими темами

Преобразование корней опирается на свойства умножения, деления и возведения в квадрат: чтобы проверить равенство с корнем, часто возводят обе неотрицательные части в квадрат. Связь с модулем появляется при вычислении √(a²), поскольку корень выбирает неотрицательное значение независимо от знака исходной буквы. Умение находить квадраты множителей использует разложение чисел на множители и знание квадратов натуральных чисел. После упрощения корней применяются обычные правила приведения подобных слагаемых.

Что запомнить

• Квадратный корень определён в действительных числах только из неотрицательного числа и сам всегда неотрицателен.
• Для произведения и частного корней обязательно проверяй условия; в знаменателе не должно быть нуля.
• √(a²) = |a|. Убрать модуль можно только тогда, когда знак a известен.
• Выноси из-под корня квадратные множители, а складывай только корни с одинаковой подкоренной частью.
• При внесении множителя под корень не теряй его знак; проверяй результат подстановкой допустимого значения.