"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Если корень нельзя найти по таблице квадратов, используют алгоритм извлечения: цифры подкоренного числа разбивают на пары, а цифры корня находят последовательно подбором. Тот же способ позволяет получить десятичное приближение корня с заданной точностью, добавляя пары нулей после запятой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это такое неотрицательное число x, что x² = a. Записывают это так: √a = x. Условие a ≥ 0 необходимо, потому что квадрат любого действительного числа не бывает отрицательным; неотрицательность x выбирает единственный корень из двух возможных решений уравнения x² = a.
Квадрат натурального числа n — результат умножения числа на себя: n² = n · n. Например, 6² = 36, а 10² = 100. Знание квадратов помогает быстро узнавать корни, которые извлекаются нацело, без длинного алгоритма.
Полный квадрат — неотрицательное целое число, которое можно представить как квадрат натурального числа или нуля: 0, 1, 4, 9, 16, 25 и так далее. Если 81 = 9², то √81 = 9. Если число не входит в такую последовательность, его корень обычно находят приближённо.
Извлечение квадратного корня — это поиск числа, квадрат которого равен подкоренному числу или достаточно близок к нему. Алгоритм извлечения квадратного корня представляет собой последовательность действий для нахождения цифр корня одну за другой. Он нужен, когда устный счёт и таблица квадратов не дают ответа.
Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня — взаимно обратные действия. Поэтому найденный корень проверяют обратным действием: возводят результат в квадрат и сравнивают с исходным числом. При точном извлечении получают ровно подкоренное число, а при приближённом — число с небольшой допустимой ошибкой.
Цифры подкоренного числа группируют справа налево по две: например, 2025 записывают как 20 | 25, а 7 — как 7 | 00 | 00 при продолжении вычислений. Причина такой группировки в том, что умножение числа на себя связывает каждый новый разряд корня с двумя разрядами квадрата. Поэтому очередная пара позволяет найти очередную цифру корня.
Сначала рассматривают левую группу. В ней находят наибольшее число, квадрат которого не превосходит эту группу, и записывают его первой цифрой корня. Например, для группы 20 это число 4, потому что 4² = 16, а 5² = 25 уже больше 20. Затем из группы вычитают найденный квадрат и получают остаток.
Чтобы получить следующую цифру, к остатку приписывают очередную пару цифр. Уже найденную часть корня удваивают, а затем подбирают цифру x так, чтобы произведение (удвоенная часть · 10 + x) · x не превысило полученное число. Берут именно наибольшую подходящую цифру: так остаток остаётся неотрицательным, а найденная цифра становится максимально возможной.
После выбора цифры снова вычитают полученное произведение и переходят к следующей паре. Если исходные пары закончились, но корень нужен точнее, к остатку приписывают 00 и продолжают тот же процесс. Каждая новая цифра после запятой уточняет результат, поэтому можно остановиться на разряде, который обеспечивает требуемую точность.
| Шаг | Действие | Что проверять |
|---|---|---|
| Разбить число на пары цифр справа налево | Поставить границы между группами по две цифры | Первая группа может содержать одну цифру |
| Найти первую цифру корня | Выбрать наибольшее число, квадрат которого не больше первой группы | Квадрат выбранной цифры не должен превышать группу |
| Вычесть квадрат найденной части и получить остаток | Вычесть найденный квадрат из текущей группы | Остаток должен быть неотрицательным |
| Приписать следующую пару и подобрать новую цифру | Приписать пару, удвоить корень и выбрать цифру по проверочному произведению | Произведение не должно превышать текущее число |
| Продолжить до нужного разряда или требуемой точности | Использовать все пары или приписывать пары нулей | Получено достаточно цифр корня |
| Проверить результат возведением в квадрат | Умножить найденное число само на себя | Сравнить квадрат с подкоренным числом и учесть погрешность |
Таблицу удобно использовать как памятку при письменном вычислении. После каждого подбора нужно отдельно проверять произведение и остаток, чтобы ошибка не перешла на следующий разряд. Для приближённого корня дополнительно проверяют, укладывается ли ошибка в заданный предел.
Число разбиваем на группы: 5 | 29. Первая цифра корня равна 2, поскольку 2² = 4 ≤ 5, а 3² = 9 > 5. После вычитания получаем остаток 1.
Ответ: √529 = 23. Проверка: 23² = 529, значит, результат найден точно.
Записываем пары 20 | 25. Для первой группы берём 4: число 4² = 16 не превышает 20, а 5² = 25 превышает его. Остаток после первого шага равен 20 − 16 = 4.
Ответ: √2025 = 45. Проверка показывает, что 45² = 2025, поэтому приближение не требуется.
У числа 7 первая группа — 7, а для цифр после запятой будем приписывать пары нулей: 7 | 00 | 00. Первая цифра равна 2, остаток 7 − 4 = 3. После приписывания 00 получаем 300 и подбираем десятичную цифру.
Ответ: √7 ≈ 2,64 с точностью до 0,01. Если требуется округлённое значение, можно записать 2,65, поскольку следующая цифра равна 5.
Цифры группируют слева направо или не по две. Тогда группы перестают соответствовать разрядам корня, и дальнейшие вычисления дают неверный результат. Проверяйте разметку, начиная отсчёт пар справа налево.
При подборе цифры допускают произведение, большее текущего числа. Такая цифра создаёт отрицательный остаток и не может быть частью корня. Подставьте выбранную цифру в проверочное произведение и убедитесь, что превышения нет.
Забывают удвоить уже найденную часть корня. Из-за этого составляется неправильное произведение для следующего разряда. Перед каждым подбором отдельно запишите удвоенную найденную часть.
Принимают приближённое значение за точное или округляют без учёта условия. Количество полученных знаков само по себе не гарантирует нужную точность. Сравните допустимую ошибку с требованием задачи и при необходимости продолжите вычисление.
Перед изучением алгоритма нужны определение арифметического квадратного корня, таблица квадратов и уверенные действия с натуральными числами и десятичными дробями. Алгоритм помогает находить корни, которые трудно определить устно или по таблице. Он связан с приближёнными вычислениями: результат оценивают не только по цифрам, но и по допустимой погрешности.
Почему цифры подкоренного числа объединяют именно по две?
Каждый новый разряд корня связан с парой цифр подкоренного числа. Поэтому группировка по две позволяет последовательно находить единицы, десятые, сотые и следующие разряды корня.
Как выбрать очередную цифру корня?
После удвоения уже найденной части корня подбирают наибольшую цифру x, для которой произведение вида (удвоенная часть · 10 + x) · x не превосходит текущего числа. Если взять цифру больше, произведение станет слишком большим.
Что делать, если подкоренное число не является полным квадратом?
Корень можно найти приближённо, продолжая алгоритм после запятой. Для этого к остатку приписывают пары нулей и получают столько цифр корня, сколько нужно для заданной точности.
Как продолжить извлечение корня после запятой?
После использования всех пар исходного числа к остатку каждый раз приписывают 00. Затем подбирают очередную цифру по тому же правилу, поэтому последовательно получают десятые, сотые и более мелкие доли.
Как проверить результат извлечения квадратного корня?
Точный результат проверяют возведением в квадрат: квадрат найденного числа должен совпасть с подкоренным числом. Для приближённого результата вычисляют квадрат приближения и учитывают допустимую погрешность.
§ 15. Алгоритм извлечения квадратного корня
