§ 16. Модуль действительного числа. Функция у = \х\

Определения и обозначения

Модулем действительного числа a называют расстояние от точки с координатой a до нуля на координатной прямой. Его обозначают |a|, и он всегда неотрицателен: |a| ≥ 0. Например, |5| = 5 и |−5| = 5, потому что обе точки удалены от нуля на пять единиц. Такое определение помогает воспринимать модуль не как знак числа, а как величину расстояния.

Расстояние между точками с координатами a и b равно |a − b|. Порядок вычитания не меняет расстояние: |a − b| = |b − a|. Например, точки 2 и 7 разделяет расстояние |7 − 2| = 5. Эта запись нужна, когда требуется выразить расстояние между числами независимо от того, какое из них больше.

Функция y = |x| каждому действительному x ставит в соответствие его модуль. По определению её можно записать по случаям: y = x при x ≥ 0 и y = −x при x < 0. Первый случай относится к нулю и положительным числам, второй — только к отрицательным. Такая запись показывает, как вычислять значение функции в зависимости от знака аргумента.

Как это устроено

Положительное число уже является расстоянием от себя до нуля, поэтому его модуль совпадает с ним: |6| = 6. Отрицательное число расположено слева от нуля, но расстояние измеряют числом единичных отрезков и записывают положительной величиной. Поэтому модуль отрицательного числа равен противоположному числу: |−6| = 6. Ноль совпадает с началом отсчёта и удалён от него на нулевое расстояние.

На координатной прямой число x справа от нуля или в самом нуле, если x ≥ 0, поэтому его расстояние до нуля равно x. Если x < 0, число находится слева от нуля; расстояние до него равно числу, противоположному x. Так из определения расстояния получаются формулы |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. Например, при x = −4 формула даёт |−4| = −(−4) = 4.

Для построения y = |x| сначала рассматривают две части определения. При x ≥ 0 график совпадает с y = x, поэтому сохраняют правую половину этой прямой. При x < 0 значения функции равны −x: левая половина прямой y = x лежала ниже оси Ox и отражается вверх относительно этой оси. Обе части соединяются в точке (0; 0), образуя график в форме буквы V.

Аргументом функции может быть любое действительное число, поэтому область определения — все действительные числа. Значения y — расстояния, а значит, они неотрицательны; наименьшее из них равно нулю и достигается при x = 0. Функция чётная, поскольку при замене x на −x расстояние до нуля не меняется: |−x| = |x|. Отсюда также следует симметрия графика относительно оси Oy.

Чтобы найти значение функции, подставляют заданный x и применяют подходящий случай: например, при x = −3 получаем y = −(−3) = 3. Уравнение |x| = a означает, что расстояние от x до нуля равно a. При a > 0 на таком расстоянии есть две точки, при a = 0 — одна, а при a < 0 решения невозможны, потому что расстояние неотрицательно.

Свойства функции y = |x|

Таблица помогает быстро проверить основные характеристики функции перед построением графика или решением задачи. Монотонность рассматривают отдельно слева и справа от нуля: на каждой из этих частей направление изменения функции постоянно. Не включайте отрицательные значения в множество значений: график целиком лежит на оси Ox и выше неё.

Разбор задач

Задача 1. Найдите значения выражений |−7| и |3|. Чтобы выбрать правило, сначала смотрим на знак числа внутри каждого модуля. Для отрицательного числа берём противоположное, а положительное оставляем без изменения.

1. Число −7 отрицательное, поэтому |−7| = −(−7) = 7.
2. Число 3 положительное, поэтому |3| = 3.

Ответ: 7 и 3. Оба результата неотрицательны, как и должно быть для расстояния до нуля.

Задача 2. Постройте график y = |x| и укажите его наименьшее значение и промежутки монотонности. Определение задаёт две прямые, поэтому график удобно строить отдельно слева и справа от нуля. Затем по направлению лучей определяем, где значения убывают, а где возрастают.

1. При x < 0 строим часть прямой y = −x; например, она проходит через точки (−1; 1) и (−2; 2).
2. При x ≥ 0 строим часть прямой y = x через точки (0; 0), (1; 1) и (2; 2).
3. Лучи соединяются в начале координат. Самая низкая точка графика — (0; 0); слева при движении к нулю значения убывают, справа при движении от нуля возрастают.

Ответ: наименьшее значение равно 0 при x = 0; функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. В точке x = 0 направление изменения переключается.

Задача 3. Решите уравнение |2x − 1| = 3 и объясните геометрический смысл решений. Поскольку правая часть положительна, выражение под модулем может быть равно как 3, так и −3. Геометрически это значит, что число 2x − 1 находится на расстоянии 3 от нуля.

1. Рассматриваем первый случай: 2x − 1 = 3, откуда 2x = 4 и x = 2.
2. Рассматриваем второй случай: 2x − 1 = −3, откуда 2x = −2 и x = −1.
3. Проверяем: при x = 2 выражение под модулем равно 3, а при x = −1 оно равно −3; оба модуля равны 3.

Ответ: x = 2 или x = −1. Получены две точки, для которых значение 2x − 1 отстоит от нуля на три единицы.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что отрицательное число под модулем остаётся отрицательным: например, записать |−4| = −4. Её допускают, смешивая знак самого числа и расстояние до нуля; расстояние же не бывает меньше нуля. Проверка простая: результат любого вычисления модуля должен быть неотрицательным, а точное значение здесь равно 4.

Формулу |x| = −x иногда применяют при любом x, хотя она действует только при x < 0. Причина — запоминают один из случаев и забывают, что определение зависит от знака аргумента. Перед подстановкой проверьте знак: если x = 3, нужно получить |3| = 3, а не −3.

При решении |A| = a можно ошибочно оставить только A = a. Это происходит, если забыть, что одинаковое расстояние от нуля имеют два числа — положительное и противоположное ему. При a > 0 нужно проверить оба случая A = a и A = −a; при a = 0 они совпадают, а при a < 0 решений нет.

График y = |x| не убывает на всей числовой прямой: такое описание подходит только для его левой части. Ошибка возникает, если не заметить вершину и не проверить направление луча справа от нуля. По графику видно, что до x = 0 значения уменьшаются, а после x = 0 увеличиваются.

Связь с другими темами

Для работы с модулем нужны навыки сравнения положительных и отрицательных чисел и их изображения на координатной прямой. Представление о расстоянии на этой прямой помогает понять, почему |a − b| выражает расстояние между числами a и b. Далее модуль встречается в уравнениях и неравенствах, где важно учитывать несколько случаев. График y = |x| также служит примером функции, заданной разными правилами на разных частях области определения.

Что запомнить

• Модуль числа — расстояние от него до нуля.
• Для любого действительного x выполняется |x| ≥ 0.
• Если x ≥ 0, то |x| = x; если x < 0, то |x| = −x.
• График y = |x| имеет вершину в точке (0; 0) и форму буквы V.
• Функция y = |x| чётная.
• Уравнение |x| = a при a > 0 имеет два решения, при a = 0 — одно, при a < 0 — ни одного.