§ 17. Функция у = аx^2, её свойства и график

Определения и обозначения

Функцией вида y = ax² называют квадратичную функцию, в которой x — независимая переменная, а a — фиксированное ненулевое число. Каждому значению x соответствует значение y, равное произведению a на квадрат x. Коэффициент a не меняется, пока рассматривается одна конкретная функция. По нему можно судить о форме её графика.

График функции y = ax² называют параболой. Для любого ненулевого a её вершина находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). Это помогает быстро наметить главный ориентир при построении графика. Остальные точки располагаются по обе стороны от вершины.

Вершина параболы — точка, в которой её ветви сходятся и меняют направление. Для y = ax² это всегда точка (0; 0), где функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Какое именно это значение, зависит от знака a. Положение вершины позволяет разделить график на левую и правую части.

Осью симметрии параболы называют прямую, относительно которой её левая и правая части зеркально совпадают. У графика y = ax² такой прямой является ось y, то есть вертикальная ось координат. Поэтому точкам с абсциссами x и −x соответствуют одинаковые значения функции. Это свойство удобно использовать при построении графика.

Как это устроено

Чтобы проверить, проходит ли график через начало координат, подставим x = 0 в формулу: y = a · 0² = 0. Получается координатная пара (0; 0), поэтому начало координат принадлежит графику при любом ненулевом a. Этот вывод не зависит от величины коэффициента. Он также сразу указывает положение вершины параболы.

Направление ветвей объясняется знаком произведения ax². При любом x квадрат x² неотрицателен, поэтому при положительном a значения y неотрицательны; чем дальше от нуля x, тем выше поднимаются ветви. Если a отрицательно, произведение ax² при x ≠ 0 отрицательно, и значения уменьшаются по мере удаления от вершины. Поэтому ветви направлены вниз, хотя сама вершина остаётся в начале координат.

Модуль коэффициента показывает, насколько быстро меняется значение функции при удалении от x = 0. При одном и том же ненулевом x больший |a| даёт большее значение |y|, значит, точки графика дальше отходят от вершины по вертикали. В результате ветви выглядят круче и располагаются ближе к оси y — парабола становится уже. При меньшем |a| значения |y| меньше, поэтому ветви оказываются дальше от оси y и парабола выглядит шире.

Симметрия возникает из равенства квадратов противоположных чисел: x² = (−x)². Значит, подстановка x или −x даёт одно и то же значение y, а точки (x; y) и (−x; y) лежат на одинаковой высоте по разные стороны от оси y. Ось y проходит ровно посередине между ними. Поэтому для построения достаточно найти точки с положительными абсциссами и отразить их относительно этой оси.

Область определения — это все допустимые значения x; здесь можно подставить любое действительное число, значит, ограничений нет. Симметрия показывает, что функция сначала меняется от одного края к вершине, а затем — от вершины к другому краю. При a > 0 вершина даёт минимум 0, значения лежат в промежутке [0; +∞), слева функция убывает, а справа возрастает. При a < 0 вершина даёт максимум 0, значения лежат в (−∞; 0], слева функция возрастает, а справа убывает.

Свойства функции y = ax² в зависимости от знака коэффициента

Сначала найди знак a: он сразу задаёт направление ветвей и определяет, будет значение в вершине наименьшим или наибольшим. Затем прочитай множество значений и промежутки изменения функции в соответствующем столбце. Квадратные скобки у нуля показывают, что точка x = 0 входит в оба промежутка.

Разбор задач

Задача 1. Построить график функции y = 2x² и указать её вершину и ось симметрии.

Построение удобно начать с точки, через которую проходит любая парабола этого вида, и нескольких пар точек с противоположными абсциссами. Возьмём целые x от −2 до 2: при больших по модулю значениях график будет заметно удалён от вершины. Найденные точки нанесём на координатную плоскость и соединим плавной линией.

1. Составим таблицу: при x = −2 получаем y = 2 · (−2)² = 8; при x = −1 — y = 2; при x = 0 — y = 0.
2. Для x = 1 получаем y = 2, а для x = 2 — y = 8. Эти значения совпали со значениями при противоположных абсциссах, что согласуется с симметрией.
3. Отметим точки (−2; 8), (−1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8). Проведём через них плавную линию с ветвями, направленными вверх, поскольку коэффициент 2 положителен.
4. По формуле и расположению точек определим вершину (0; 0); ось симметрии — вертикальная ось y.

Ответ: график — парабола через перечисленные точки; вершина (0; 0), ось симметрии — ось y.

Задача 2. Сравнить графики y = x² и y = 3x² и объяснить, какой из них уже.

Обе функции имеют одинаковую степень x и положительные коэффициенты, поэтому их параболы направлены вверх и имеют общую вершину. Чтобы сравнить ширину, достаточно сопоставить модули коэффициентов при x². Можно также проверить значения функций при одном и том же x, например при x = 1.

1. Для y = x² коэффициент a равен 1, а для y = 3x² — 3.
2. Сравним модули: |3| > |1|. Значит, у второй функции при каждом x ≠ 0 значение y втрое больше.
3. Например, при x = 1 получаем соответственно y = 1 и y = 3. Такие точки второй параболы расположены дальше от оси x, поэтому её ветви ближе к оси y.

Ответ: парабола y = 3x² уже, чем парабола y = x².

Задача 3. Для функции y = −2x² найти область значений, промежутки возрастания и убывания и наибольшее значение.

Сначала рассмотрим знак коэффициента: здесь a = −2, поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина расположена при x = 0, и именно в ней функция достигает наибольшего значения. Симметрия относительно оси y помогает понять, как меняются значения слева и справа от вершины.

1. Область определения — все действительные числа, так как квадрат x можно вычислить при любом x.
2. В вершине y = −2 · 0² = 0. При остальных x квадрат положителен, а произведение на −2 отрицательно, поэтому y ≤ 0 и область значений равна (−∞; 0].
3. Слева от вершины, при движении от отрицательных x к нулю, значения растут к нулю. Значит, функция возрастает на (−∞; 0].
4. Справа от вершины, при движении от нуля к положительным x, значения уменьшаются. Значит, функция убывает на [0; +∞).

Ответ: область значений (−∞; 0]; возрастание на (−∞; 0], убывание на [0; +∞); наибольшее значение 0 при x = 0.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при a < 0 график смещается вниз. На самом деле меняется направление ветвей, а подстановка x = 0 всё равно даёт y = 0, поэтому вершина остаётся в начале координат. Такую ошибку допускают, перенося на этот случай представление о сдвиге графика. Проверь себя: вычисли значение функции при x = 0.

Ошибка: указывать разные вершины для функций вида y = ax². Коэффициент меняет форму параболы, но не координаты точки (0; 0), принадлежащей графику. Путаница появляется, когда ширину графика принимают за его положение. Проверка проста: подставь x = 0 в каждую формулу.

Ошибка: считать, что парабола уже при меньшем модуле коэффициента. При одном и том же ненулевом x больший |a| даёт большее |y|, поэтому точки быстрее удаляются от вершины и ветви ближе к оси y. Часто ширину пытаются сравнить только по знаку коэффициента, хотя знак отвечает за направление ветвей. Сравни модули и проверь обе функции при x = 1.

Ошибка: неверно записывать промежутки возрастания и убывания, не разделяя график в вершине. Слева и справа от x = 0 поведение параболы противоположно, а знак a определяет, какая часть возрастает. Чтобы не перепутать промежутки, сначала отметь ноль на числовой прямой, затем установи направление ветвей. Включай x = 0 в оба промежутка, поскольку функция определена в вершине.

Связь с другими темами

Для работы с параболой понадобятся координатная плоскость, построение графиков по таблице и умение возводить числа в квадрат. Затем эти знания расширяются при изучении квадратичной функции y = ax² + bx + c: её график также является параболой, но положение вершины может измениться. Графики помогают решать уравнения и неравенства: можно находить точки пересечения и сравнивать значения функций. Сравнение коэффициентов показывает, как изменение формулы влияет на график.

Что запомнить

• График функции y = ax² при a ≠ 0 — парабола.
• Вершина параболы — точка (0; 0).
• Ось симметрии параболы — ось y.
• При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Чем больше |a|, тем уже парабола.
• Область определения функции — все действительные числа.
• Наибольшее или наименьшее значение функция принимает при x = 0.