"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Функция y = k/x описывает обратную пропорциональность: при неизменном ненулевом k произведение x и y всегда равно k. Её график называют гиперболой; он состоит из двух ветвей и зависит от знака коэффициента. Изучение этой функции помогает находить значения по формуле и графику, строить график по таблице, а также решать уравнения графическим способом. Главное — помнить, что ноль нельзя подставить вместо x, а сама функция на ноль не равна.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная пропорциональность — зависимость, которую задаёт формула y = k/x, где k — постоянное ненулевое число. Коэффициент k равен произведению x и y, поэтому при изменении одной величины другая меняется так, чтобы произведение оставалось постоянным. Зная k и x, можно найти y, а по паре значений x и y — определить k.
Гипербола — график функции y = k/x при k ≠ 0. Он состоит из двух отдельных ветвей, которые располагаются по разные стороны от осей координат. По виду гиперболы можно увидеть, как знак k влияет на связь между x и y.
Область определения функции — множество всех допустимых значений аргумента, то есть x, которые можно подставить в формулу. Для y = k/x это все числа, кроме нуля: при x = 0 возникает деление на ноль. Это правило сразу показывает, какие значения x можно брать для таблицы и графика.
Область значений функции — множество всех значений y, которые получаются при допустимых x. Для y = k/x это все числа, кроме нуля, потому что ненулевое число k, делённое на допустимое x, не может дать ноль. Значит, ни одна точка графика не лежит на оси x.
В формуле y = k/x нельзя подставить x = 0: деление на ноль не имеет смысла, поэтому значение функции в этой точке не существует. При этом k не равно нулю, и частное k/x также не может быть нулевым: для этого числитель должен был бы равняться нулю. Поэтому график не пересекает ни ось y, соответствующую x = 0, ни ось x, где y = 0.
Расположение ветвей зависит от знака k, потому что y = k/x, а значит, произведение xy равно k. Если k > 0, произведение положительное: x и y должны быть либо оба положительными, либо оба отрицательными. Поэтому ветви находятся в I и III четвертях. Если k < 0, x и y имеют разные знаки, и ветви располагаются во II и IV четвертях.
При замене x на −x получаем значение k/(−x) = −k/x, то есть противоположное прежнему значению y. Например, если графику принадлежит точка (x; y), то ему принадлежит и точка (−x; −y). Эти точки расположены симметрично относительно начала координат, поэтому вся гипербола обладает такой симметрией.
Чтобы построить график, удобно воспользоваться равенством xy = k: подбирай ненулевые x так, чтобы значение k/x легко вычислялось, и записывай пары (x; y). Можно взять противоположные значения x: тогда значения y тоже будут противоположными, что помогает проверить симметрию и нанести точки обеих ветвей. После этого проведи через точки плавные ветви, не соединяя их друг с другом и не доводя до осей.
Монотонность определяют отдельно слева и справа от нуля, так как в x = 0 есть разрыв. Если k > 0, при увеличении положительного x частное k/x уменьшается; на отрицательном промежутке значение тоже уменьшается при движении слева направо. Если k < 0, при движении слева направо на каждом из промежутков значения, наоборот, возрастают. Значит, функция монотонна на каждом из двух промежутков, но не на всей области определения сразу.
| Свойство | k > 0 | k < 0 |
|---|---|---|
| Область определения | Все x, кроме 0 | Все x, кроме 0 |
| Область значений | Все y, кроме 0 | Все y, кроме 0 |
| Расположение ветвей | I и III четверти | II и IV четверти |
| Симметрия графика | Относительно начала координат | |
| Монотонность | Убывает на (−∞; 0) и (0; +∞) | Возрастает на (−∞; 0) и (0; +∞) |
| Значения функции при x > 0 и x < 0 | При x > 0: y > 0; при x < 0: y < 0 | При x > 0: y < 0; при x < 0: y > 0 |
Сначала найди знак k: по нему можно сразу определить четверти и знаки значений функции. Затем проверь область определения и значений — эти свойства одинаковы при любом ненулевом k. Строку о монотонности читай по отдельным промежуткам, поскольку x = 0 разделяет область определения.
Для построения нужны точки, координаты которых удовлетворяют формуле. Здесь удобно подбирать делители числа 6, чтобы значение y было целым, и использовать значения x обоих знаков. Так мы получим точки сразу для двух ветвей и сможем проверить их симметрию.
Ответ: график — гипербола с ветвями в I и III четвертях, так как k = 6 > 0. Точки с противоположными координатами расположены симметрично относительно начала координат. Ветви не пересекают оси, поскольку x = 0 недопустимо, а y не равен нулю.
Здесь важно проверить два разных ограничения: какие x можно подставлять и какие y может выдавать формула. Ненулевой числитель помогает установить, что ноль не попадёт в область значений. Разберём оба пункта отдельно.
Ответ: область определения — все действительные числа, кроме нуля; область значений — все действительные числа, кроме нуля. Например, y = 2 получится при x = −4, а y = 0 получить нельзя. Знак коэффициента −8 означает, что ветви графика находятся во II и IV четвертях.
Если точка лежит на графике, её координаты обязаны удовлетворять формуле. Подстановка координат позволяет найти неизвестный коэффициент: достаточно выразить его через x и y. После этого знак k подскажет расположение обеих ветвей.
Ответ: k = −12; ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях. Точка A находится во II четверти, что согласуется со знаком коэффициента. Значение k можно проверить также по равенству xy = k: (−4) · 3 = −12.
Первая ошибка — включать x = 0 в область определения. Так делают, если смотрят только на букву x, не проверяя знаменатель; исправление простое: подставь ноль в формулу и убедись, что появится деление на ноль. Вторая ошибка — добавлять y = 0 в область значений, потому что ветви визуально приближаются к оси x. Проверь формулу: при k ≠ 0 равенство k/x = 0 невозможно.
Ещё одна ошибка — располагать ветви в неверных четвертях, не учитывая знак k. Чтобы проверить себя, выясни, могут ли x и y быть одного знака: при k > 0 могут, а при k < 0 — нет. Наконец, нельзя соединять ветви через оси или считать функцию убывающей на всей области определения. Область состоит из двух промежутков; исследуй направление изменения отдельно на каждом из них и помни, что через x = 0 график не проходит.
Для работы с гиперболой нужны навыки чтения координатной плоскости и построения графика по таблице значений. Также важно помнить, что деление на ноль не определено: это правило помогает находить область определения. Обратная пропорциональность дополняет изученную прямую пропорциональность и показывает другой тип зависимости между величинами. Умение читать графики и учитывать их свойства пригодится при преобразовании графиков и решении уравнений графическим способом.
Знак коэффициента определяет четверти и направление изменения функции. При построении точек пользуйся равенством xy = k и не забывай, что ноль исключён из области определения.
Почему в формуле y = k/x коэффициент k не может быть равен нулю?
При k = 0 формула даёт y = 0 для любого x ≠ 0, поэтому график становится частью оси x, а не гиперболой. В теме обратной пропорциональности рассматривают именно ненулевой коэффициент: k ≠ 0.
Почему график функции y = k/x не пересекает оси координат?
Ось y соответствует x = 0, но при делении на ноль функция не определена. Чтобы график пересёк ось x, должно быть y = 0, однако k/x не равно нулю при k ≠ 0 и x ≠ 0.
Как по знаку k определить, в каких четвертях расположены ветви гиперболы?
Если k > 0, x и y имеют одинаковые знаки, поэтому ветви лежат в I и III четвертях. Если k < 0, знаки x и y противоположны, значит, ветви находятся во II и IV четвертях.
Как выбрать значения x для таблицы при построении графика?
Выбирай ненулевые x, для которых k/x удобно вычислить, например делители k, если k — целое число. Полезно взять значения и с положительным, и с отрицательным знаком: соответствующие точки покажут обе ветви графика.
Почему функцию y = k/x нельзя назвать убывающей на всей области определения?
Область определения состоит из двух отдельных промежутков: x < 0 и x > 0. Между ними находится x = 0, где функция не определена, поэтому сравнивать значения через эту точку нельзя; монотонность рассматривают отдельно на каждом промежутке.
§ 18. Функция у = k/x , её свойства и график
