"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
График y = f(x + l) + m можно получить из графика y = f(x) без вычисления новых значений функции: достаточно перенести каждую его точку. Слагаемое внутри скобок отвечает за горизонтальный сдвиг, а число вне скобок — за вертикальный. Направления этих сдвигов важно не перепутать: при l > 0 график уходит влево, при m > 0 — вверх. Такой способ помогает быстро строить графики и находить координаты их характерных точек.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельный перенос графика — перемещение всех его точек на одно и то же расстояние без изменения формы. Иными словами, график целиком сдвигают по координатной плоскости, не растягивая и не поворачивая. Это понятие нужно, чтобы строить новый график по уже известному, не вычисляя функцию заново.
Горизонтальный сдвиг графика — изменение положения графика по оси x при замене аргумента x на x + l. Здесь l — число, задающее величину переноса, но его знак действует не так, как может показаться: при l > 0 график y = f(x + l) перемещается влево, а при l < 0 — вправо. Это правило помогает не перепутать направление при построении.
Вертикальный сдвиг графика — изменение его положения по оси y при прибавлении числа m к значению функции. Если m > 0, график y = f(x) + m поднимается вверх, а если m < 0 — опускается вниз. Такое обозначение позволяет сразу определить, как изменятся значения функции, не меняя абсциссы точек.
График функции y = f(x + l) + m — результат горизонтального и вертикального переносов графика y = f(x). Сначала можно сдвинуть график на l по горизонтали, а затем на m по вертикали, или выполнить эти действия в обратном порядке. Запись объединяет оба изменения и подсказывает, как перенести каждую исходную точку.
Пусть на исходном графике есть точка с координатами (x; f(x)). Чтобы найти точку нового графика с той же ординатой, нужно, чтобы значение внутри функции осталось прежним: x_new + l = x. Отсюда x_new = x − l, поэтому знак сдвига по горизонтали получается противоположным знаку l. Например, если l = 3, исходная точка с абсциссой 0 перейдёт на абсциссу −3.
При прибавлении m меняется значение функции, то есть ордината точки, а её абсцисса остаётся прежней. Если исходная точка равна (x; y), то после вертикального сдвига она станет (x; y + m). Причина проста: к каждому прежнему значению f(x) прибавляют одно и то же число. Поэтому все точки поднимаются или опускаются одинаково.
Вместе два правила дают формулу перехода (x; y) → (x − l; y + m). Она позволяет сразу переносить вершины, точки пересечения с осями и любые другие известные точки. Например, при l = 2 и m = −1 точка (4; 3) станет точкой (2; 2). Проверить перенос можно, подставив новую абсциссу: x_new + l снова даёт старое значение аргумента.
Горизонтальный и вертикальный переносы можно выполнять в любом порядке, потому что они изменяют разные координаты. Сначала можно заменить каждую абсциссу x на x − l, а потом каждую ординату y на y + m. Если поменять действия местами, итоговая пара координат останется такой же. Это удобно, когда на чертеже легче сначала выполнить сдвиг вверх или вниз.
При горизонтальном переносе область определения меняется так: допустимо то новое x, для которого x + l принадлежит области определения исходной функции. Исходные нули становятся нулями с абсциссами x − l, если вертикального сдвига нет; при m ≠ 0 значения функции дополнительно меняются, и прежние нули не обязательно останутся нулями. Вершина и другие точки переходят по общей формуле, а пересечения с осями нужно определять уже на новом графике. Форма, расстояния между точками и взаимное расположение частей графика при переносе сохраняются.
Сначала найдите в таблице вид функции, которую нужно построить, и посмотрите, как изменяются координаты исходной точки. Строки для знаков l и m помогают отдельно определить направление каждого сдвига. После переноса нескольких характерных точек соединяйте их, сохраняя форму исходного графика.
| Вид функции | Изменение графика | Переход точки (x, y) | Направление сдвига |
|---|---|---|---|
| y = f(x) | Исходный график | (x, y) → (x, y) | Нет сдвига |
| y = f(x + l) | Изменение аргумента | (x, y) → (x − l, y) | Зависит от знака l |
| y = f(x) + m | Изменение значения функции | (x, y) → (x, y + m) | Зависит от знака m |
| y = f(x + l) + m | Горизонтальный и вертикальный переносы | (x, y) → (x − l, y + m) | Зависят от знаков l и m |
| l > 0 | Положительное число в аргументе | x → x − l | Влево |
| l < 0 | Отрицательное число в аргументе | x → x − l | Вправо |
| m > 0 | Положительное число вне функции | y → y + m | Вверх |
| m < 0 | Отрицательное число вне функции | y → y + m | Вниз |
Задача 1. Построить график функции y = (x + 3)² − 2, используя график y = x². Исходный график — парабола с вершиной в начале координат. В выражении под квадратом стоит x + 3, а снаружи вычитают 2. Сравним функцию с общим видом y = f(x + l) + m.
Ответ: парабола y = x² сдвинута на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз; её вершина — (−3; −2).
Задача 2. График y = f(x) проходит через точки (−2; 1), (0; 3), (2; 1). Построить график y = f(x − 4) + 2. В этой записи горизонтальный сдвиг задан в виде x − 4, то есть это x + l при l = −4. Значит, исходные точки переместятся вправо, а прибавление 2 поднимет их вверх.
Ответ: характерные точки нового графика — (2; 3), (4; 5), (6; 3); весь график сдвинут на 4 единицы вправо и на 2 вверх.
Задача 3. Известно, что график y = f(x) имеет вершину в точке (1; −2), а график y = f(x + l) + m — в точке (−3; 5). Найти l и m. Это соответствующие точки одного графика до переноса и после него. Для их координат выполняются равенства x_new = x − l и y_new = y + m.
Ответ: l = 4, m = 7.
Путать знак l с направлением сдвига. Можно решить, что плюс в x + l означает движение вправо, потому что положительные числа на оси x направлены вправо. Но аргумент внутри функции отвечает за обратное изменение абсциссы. Проверяйте себя формулой x_new = x − l: при l > 0 точка действительно движется влево.
Менять значения функции вместо аргументов. Замена x на x + l не прибавляет число к ординате: она меняет положение графика по горизонтали. Ошибку допускают, смешивая два действия, записанные внутри и вне функции. Проверьте, что при горизонтальном переносе меняется x, а y остаётся прежним.
Забывать про m. Если построить только y = f(x + l), получится график без вертикального сдвига. Это случается, когда внимание сосредоточено на выражении в скобках. Подставьте в формулу и вторую часть перехода: y_new = y + m.
Менять форму графика. При переносе вершины параболы или нескольких точек иногда соединяют их новой кривой произвольной формы. Так теряются исходные расстояния и взаимное расположение точек, хотя параллельный перенос этого не делает. Для проверки мысленно совместите исходный график с новым, сдвинув его обратно: графики должны совпасть.
Для работы с переносами нужно знать, что такое функция, аргумент и значение функции, уметь отмечать координаты на плоскости и строить график по точкам. Этот способ продолжает изучение преобразований: сдвигов y = f(x) + a и y = f(x − a), отражений y = −f(x) и y = f(−x). Такие приёмы применяют при построении графиков квадратных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций.
Почему знак при l меняет направление горизонтального сдвига?
Чтобы получить прежнее значение f(x), в новом выражении аргумент x + l должен равняться старому x. Поэтому новая абсцисса равна x − l. Значит, при l > 0 точка перемещается влево, а при l < 0 — вправо.
Как определить координаты новой вершины или другой характерной точки?
Если исходная точка имеет координаты (x; y), то после преобразования она окажется в точке (x − l; y + m). Примените эти формулы к вершине или любой другой известной точке графика.
Можно ли сначала выполнить вертикальный сдвиг, а потом горизонтальный?
Да. Вертикальный перенос меняет только ординату, а горизонтальный — только абсциссу, поэтому порядок действий не влияет на результат.
Как построить график, если известны только несколько точек исходной функции?
Перенесите каждую известную точку по формулам (x; y) → (x − l; y + m). Затем соедините новые точки, сохраняя форму исходного графика. Если точек мало, точный вид промежуточных участков может быть неизвестен.
Как восстановить значения l и m по исходному и преобразованному графикам?
Выберите пару соответствующих точек: исходную (x; y) и перенесённую (x_new; y_new). Из равенств x_new = x − l и y_new = y + m получите l = x − x_new и m = y_new − y.
§ 19. Как построить график функции у = f(x + I) + т, если известен график функции у = f(x)
