"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Квадратичная функция y = ax² + bx + c задаёт параболу, форму и положение которой определяют коэффициенты a, b и c. По формуле можно найти вершину, ось симметрии, направление ветвей и точки пересечения с осями координат. Эти сведения помогают построить график без множества вычислений, определить область значений, промежутки возрастания и убывания, а также решить квадратные уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c — свободный член. Они определяют форму и положение графика, поэтому по ним можно исследовать функцию и строить её параболу.
Парабола — график квадратичной функции. Если a > 0, её ветви направлены вверх, а если a < 0 — вниз. Это нужно, чтобы понять, есть ли у функции наименьшее или наибольшее значение и где его искать.
Вершина параболы — точка графика с координатами (−b/(2a); −D/(4a)), где D = b² − 4ac — дискриминант. Вершина задаёт поворот параболы и границу между промежутками убывания и возрастания. Её координаты помогают быстро определить важные свойства функции.
Ось симметрии параболы — прямая x = −b/(2a), относительно которой симметричны точки графика. Вершина лежит на этой прямой, а значения функции в точках, равноудалённых от неё, одинаковы. Ось позволяет строить график, находя точки попарно.
Чтобы увидеть вершину и ось симметрии прямо в формуле, выделяют полный квадрат. Для этого выражение ax² + bx + c преобразуют к виду y = a(x − m)² + n, где m = −b/(2a), n = −D/(4a). При раскрытии скобок получается исходная функция, поэтому преобразование не меняет график. В новой записи при x = m квадрат обращается в ноль, и остаётся y = n: это и есть вершина (m; n).
Знак a определяет, как меняется значение функции при удалении от вершины. Если a положительно, квадратное слагаемое a(x − m)² неотрицательно, поэтому вершина — самая нижняя точка, а ветви идут вверх. Если a отрицательно, это слагаемое неположительно, и вершина становится самой верхней точкой. Модуль a умножает квадрат: чем он больше, тем быстрее меняется y и тем уже парабола по сравнению с y = x².
Квадрат выражения можно вычислить при любом действительном x, поэтому область определения всегда состоит из всех действительных чисел. Множество значений зависит от того, есть ли у параболы нижняя или верхняя точка. При a > 0 значения не меньше ординаты вершины, а при a < 0 — не больше неё. Та же вершина задаёт наименьшее или наибольшее значение функции.
С обеих сторон от оси симметрии парабола устроена зеркально, но направление изменения функции зависит от знака a. При a > 0 график спускается к вершине слева и поднимается справа. При a < 0 он поднимается к вершине слева, а затем спускается. Поэтому промежутки монотонности — то есть участки, где функция только возрастает или только убывает, — определяются абсциссой вершины и знаком a.
Точки пересечения с осью Ox имеют координату y = 0, поэтому их абсциссы находят решением уравнения ax² + bx + c = 0. Дискриминант показывает, сколько у этого уравнения корней: при D > 0 получаются два пересечения, при D = 0 — одно касание, при D < 0 действительных корней нет. В последнем случае график не пересекает ось Ox, но сама парабола существует: её задаёт функция при всех действительных x.
| Свойство | Условие или формула | Что следует |
|---|---|---|
| Область определения | x ∈ ℝ | Функция задана при всех действительных x. |
| Координаты вершины | (−b/(2a); −D/(4a)) | Вершина задаёт максимум или минимум функции. |
| Ось симметрии | x = −b/(2a) | Точки параболы по обе стороны оси симметричны. |
| Направление ветвей | a > 0 или a < 0 | При a > 0 ветви вверх, при a < 0 — вниз. |
| Область значений | При a > 0: y ≥ y₀; при a < 0: y ≤ y₀ | y₀ — ордината вершины. |
| Промежутки монотонности | Граница x₀ = −b/(2a) | При a > 0 функция убывает до x₀ и возрастает после; при a < 0 — наоборот. |
| Число нулей по дискриминанту | D > 0, D = 0, D < 0 | Соответственно два нуля, один нуль или ни одного. |
Чтобы исследовать функцию, сначала найди x₀ и y₀, затем определи знак a. Так можно заполнить строки о вершине, оси, ветвях, области значений и монотонности. Для числа пересечений с Ox отдельно вычисли дискриминант.
Для функции y = x² − 4x + 3 нужно выделить полный квадрат, указать вершину и ось симметрии. Коэффициент при x² равен единице, поэтому достаточно дополнить первые два слагаемых до квадрата двучлена. Свободный член при этом тоже нужно изменить так, чтобы значение выражения осталось прежним.
Берём x² − 4x и добавляем квадрат половины коэффициента при x: (−4/2)² = 4. Получаем x² − 4x + 4 = (x − 2)². Чтобы не изменить исходное выражение, отдельно вычитаем добавленную четвёрку.
Преобразуем функцию: y = (x − 2)² − 4 + 3 = (x − 2)² − 1. Сравниваем с видом y = (x − m)² + n и читаем координаты вершины: m = 2, n = −1. Значит, вершина имеет координаты (2; −1).
Абсцисса вершины задаёт ось симметрии. Поэтому уравнение оси — x = 2. Проверить ответ можно по формуле −b/(2a): здесь a = 1, b = −4, и −(−4)/(2 · 1) = 2.
Ответ: y = (x − 2)² − 1; вершина (2; −1), ось симметрии x = 2.
Для функции y = −2x² + 4x + 6 требуется определить направление ветвей, область значений и промежутки возрастания и убывания. Поскольку коэффициент a отрицательный, вершина будет верхней точкой графика. Сначала найдём её абсциссу, а затем подставим её в функцию.
Здесь a = −2, b = 4. Абсцисса вершины равна x₀ = −b/(2a) = −4/(−4) = 1. Это также положение оси симметрии: x = 1.
Подставляем x = 1: y₀ = −2 · 1² + 4 · 1 + 6 = 8. Вершина — точка (1; 8). Поскольку a < 0, ветви направлены вниз, и вершина задаёт наибольшее значение функции.
Все значения функции не превосходят 8, поэтому область значений — y ≤ 8. При движении слева к вершине график поднимается, а после вершины опускается. Значит, функция возрастает при x ≤ 1 и убывает при x ≥ 1.
Ответ: ветви направлены вниз; область значений y ≤ 8; функция возрастает при x ≤ 1 и убывает при x ≥ 1.
Построим график y = x² − 2x − 3 и определим точки его пересечения с осями координат. Вершина и нули дадут опорные точки, а ось симметрии поможет добавить точки для построения. Коэффициент a = 1 положителен, значит, парабола будет направлена вверх.
Найдём вершину: x₀ = −b/(2a) = −(−2)/2 = 1. Подставим это значение: y₀ = 1 − 2 − 3 = −4. Значит, вершина — (1; −4), а ось симметрии — x = 1.
Для пересечения с Ox приравниваем y к нулю: x² − 2x − 3 = 0. Разложим на множители: (x − 3)(x + 1) = 0, откуда x = 3 или x = −1. Точки пересечения с Ox: (3; 0) и (−1; 0).
Для пересечения с Oy берём x = 0: y = −3, значит, получаем точку (0; −3). По симметрии относительно x = 1 ей соответствует точка (2; −3). Отмечаем эти точки и вершину, затем проводим плавную параболу с ветвями вверх.
Ответ: вершина (1; −4), ось x = 1; пересечения с Ox — (−1; 0) и (3; 0), с Oy — (0; −3).
Не перепутай координаты вершины: −b/(2a) — абсцисса, а −D/(4a) — ордината. Ошибка возникает, когда формулы запоминают как одну дробь, не связывая их с координатами. Проверь себя: подставь найденную абсциссу в исходную функцию — результат должен совпасть с ординатой.
Направление ветвей зависит только от знака a, а не от b или c. Коэффициенты b и c могут повлиять на положение графика, но не меняют направление его ветвей. Для проверки найди слагаемое a(x − x₀)²: положительный коэффициент перед квадратом даёт ветви вверх, отрицательный — вниз.
При D < 0 парабола не исчезает: у неё просто нет общих точек с осью Ox. Путаница возникает из-за того, что уравнение ax² + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Проверь, что сама функция всё равно определена при каждом действительном x.
Нельзя определять область значений и монотонность, не учитывая знак a и положение вершины. Например, у парабол, направленных в разные стороны, при одной и той же высоте вершины значения ограничены с разных сторон. Сначала найди вершину, затем реши, является она минимумом или максимумом, и только после этого укажи нужные промежутки.
Для работы с квадратичной функцией нужны навыки преобразования квадратных выражений и выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений помогает находить нули функции и точки пересечения с осью Ox. Эти знания соединяют изучение формул с чтением и построением графиков.
Квадратичные функции применяют в задачах на движение и оптимизацию, когда требуется найти наибольшее или наименьшее значение. Они также помогают исследовать уравнения и неравенства графическим способом: положение параболы показывает, где функция положительна, отрицательна или равна нулю.
Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
График квадратичной функции — парабола.
Абсцисса вершины равна −b/(2a), ось симметрии имеет уравнение x = −b/(2a).
Знак a определяет направление ветвей параболы.
Дискриминант определяет число пересечений графика с осью Ox.
Область определения квадратичной функции — все действительные числа.
Почему в формуле квадратичной функции коэффициент a не может быть равен нулю?
Если a = 0, слагаемое ax² исчезает, и выражение становится линейным или постоянным. Его график уже не является параболой, поэтому такую функцию не называют квадратичной.
Как быстро найти вершину параболы?
Найди абсциссу вершины по формуле x₀ = −b/(2a). Подставь это значение в функцию, чтобы получить ординату y₀; также её можно найти по формуле y₀ = −D/(4a), где D = b² − 4ac.
Как по формуле определить, куда направлены ветви?
Посмотри на знак коэффициента a при x². Если a > 0, ветви направлены вверх, а если a < 0 — вниз.
Что показывает дискриминант при исследовании графика?
Дискриминант определяет число корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, то есть точек пересечения параболы с осью Ox. При D > 0 таких точек две, при D = 0 одна, а при D < 0 пересечений нет.
Как определить область значений квадратичной функции?
Найди ординату вершины y₀ = −D/(4a) и учти направление ветвей. При a > 0 функция принимает значения от y₀ и выше, а при a < 0 — от y₀ и ниже.
§ 20. Функция у = ах2 + bх + с , её свойства и график
