§ 21. Графическое решение квадратных уравнений

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0; числа a, b и c называют коэффициентами. Буква x обозначает неизвестное число, которое требуется найти. Условие a ≠ 0 нужно потому, что при a = 0 исчезает член с x² и уравнение становится линейным. Например, в уравнении 2x² − 3x + 1 = 0 коэффициенты равны 2, −3 и 1.

Корень квадратного уравнения — значение x, при котором левая часть уравнения равна нулю. Чтобы проверить найденное число, его подставляют вместо x и выполняют вычисления. Если результат равен нулю, число действительно является корнем. Например, для x² − 4 = 0 числа 2 и −2 подходят, потому что их квадраты равны 4.

Графическое решение квадратного уравнения — нахождение его корней по графикам функций, полученных из уравнения. Вместо того чтобы сразу вычислять неизвестное, строят графики и смотрят, где они пересекаются. Этот способ помогает увидеть число корней и оценить их значения. Он особенно полезен, когда точные вычисления неудобны или требуется наглядно исследовать уравнение.

Точка пересечения графиков — точка, общая для двух графиков; её абсцисса, то есть координата x, может быть корнем уравнения. В общей точке графики имеют одинаковую ординату y, а значит, значения соответствующих функций равны. Если функции выбраны из преобразованного уравнения, это равенство и даёт исходное уравнение. Поэтому при чтении графика нужно брать координату x, а не y.

Как это устроено

Начнём с уравнения ax² + bx + c = 0. Перенесём c в правую часть и получим равносильное равенство ax² + bx = −c: корни не меняются, потому что к обеим частям исходного равенства прибавили одно и то же число −c. Теперь левая часть зависит от x, а правая постоянна. Поэтому можно построить график функции y = ax² + bx и горизонтальную прямую y = −c.

В точке пересечения графиков выполняется равенство значений y. Значит, для её абсциссы x верно ax² + bx = −c, а после переноса всех слагаемых в одну часть получаем ax² + bx + c = 0. Именно поэтому корнем служит абсцисса точки пересечения. Ту же задачу можно записать иначе: построить y = ax² + bx + c и найти пересечения с осью Ox, где y равно нулю.

Число корней зависит от того, как расположены парабола y = ax² + bx и прямая y = −c. Если прямая проходит через параболу в двух местах, для двух разных значений x выражения равны, поэтому имеются два корня. Если прямая касается параболы, общая точка одна и ей соответствует один корень. Когда графики не встречаются, равенство не выполняется ни при каком действительном x, значит, действительных корней нет.

График строят на координатной плоскости, поэтому результат обычно нельзя считать точным до любого знака после запятой. Линия имеет толщину, точки наносятся с небольшой погрешностью, а координаты считываются по делениям сетки. Чем крупнее масштаб в нужной области и аккуратнее построение, тем точнее оценка. Если по чертежу корень примерно равен 1,5, не следует записывать 1,503 без оснований.

Чтобы построить параболу y = ax² + bx, сначала определяют направление её ветвей: при a > 0 они направлены вверх, а при a < 0 — вниз. Затем находят вершину — точку, в которой парабола меняет направление, и отмечают несколько точек, подставляя удобные значения x в формулу. Симметричные относительно оси параболы точки помогают проверить построение. Наконец, выбирают масштаб, при котором и вершина, и возможные пересечения хорошо видны.

Число корней и взаимное расположение графиков

Сначала найди на построении все общие точки параболы и прямой, а затем посчитай их. Число таких точек показывает число действительных корней, а их абсциссы — значения корней. Если пересечение выглядит неясно, проверь масштаб и аккуратность построения.

Разбор задач

Задача 1. Решить графически уравнение x² − 4 = 0.

Здесь удобно представить уравнение как x² = 4. Тогда достаточно сравнить график квадратичной функции с горизонтальной прямой; так сразу видны все значения x, при которых квадрат равен четырём.

1. Построим y = x² и y = 4. Первая функция задаёт параболу с вершиной в начале координат, вторая — горизонтальную прямую.
2. Найдём точки пересечения графиков. По чертежу они имеют координаты (−2; 4) и (2; 4), поскольку (−2)² = 4 и 2² = 4.
3. Возьмём абсциссы этих точек, а не их ординаты: получим x = −2 и x = 2.

Ответ: −2; 2.

Задача 2. Решить графически уравнение x² − 2x − 3 = 0.

Перенесём свободное число в правую часть и будем искать, при каких x значение x² − 2x равно 3. Можно также строить график левой части исходного уравнения и сравнивать его с осью Ox; выберем первый вариант.

1. Строим y = x² − 2x и y = 3. Для параболы удобно отметить вершину: x² − 2x = (x − 1)² − 1, поэтому вершина имеет координаты (1; −1).
2. Отмечаем несколько точек параболы и проводим её ветви. Пересечения с прямой y = 3 находятся при x = −1 и x = 3: в обоих случаях x² − 2x равно 3.
3. Записываем абсциссы пересечений. Это два значения x, удовлетворяющие исходному уравнению.

Ответ: −1; 3.

Задача 3. Решить графически уравнение 2x² − 3x + 1 = 0 и оценить точность найденных корней.

Для построения преобразуем равенство так, чтобы получить параболу и горизонтальную прямую. По их пересечениям считываем корни, но будем помнить, что координатная сетка даёт только оценку, а не автоматически точные значения.

1. Переносим 1 вправо: получаем 2x² − 3x = −1. Строим графики y = 2x² − 3x и y = −1.
2. Для параболы находим вершину: координата x равна ¾, а соответствующее значение y равно −9/8. Отмечаем вершину и несколько точек, затем проводим ветви вверх, поскольку коэффициент при x² положителен.
3. По сетке определяем пересечения с прямой y = −1. Их абсциссы близки к 0,5 и 1; точность записи зависит от шага делений и качества чертежа.

Ответ: примерно 0,5 и 1; это графическая оценка корней.

Типичные ошибки

Путать абсциссу и ординату. Иногда за корень принимают y-координату пересечения, потому что она заметна на графике. Но уравнение ищет значения x, поэтому корнями являются абсциссы. Проверь себя: подставь найденное число вместо x в исходное уравнение.

Строить только один график. Одной параболы недостаточно, чтобы увидеть, где её значение равно нужному числу. Вторая функция или ось y = 0 задаёт, с чем именно сравнивается парабола. Перед построением запиши обе функции и проверь, соответствует ли их равенство исходному уравнению.

Определять число корней только по виду параболы. Направление ветвей само по себе не показывает, сколько раз график пересечёт нужную прямую. Положение прямой тоже важно: она может пересечь параболу дважды, коснуться её или пройти мимо. Проверяй число корней непосредственно по общим точкам построенных графиков.

Записывать слишком точный ответ. По грубой сетке легко получить оценку около 1,5, но нельзя надёжно различить, например, 1,501 и 1,502. Это происходит, когда точность записи не соотносят с масштабом рисунка. Указывай столько знаков, сколько действительно позволяет считать чертёж, и отмечай, что ответ приближённый.

Связь с другими темами

Для графического решения нужно уметь строить линейную и квадратичную функции, отмечать точки на координатной плоскости и читать координаты пересечений. Преобразование уравнения опирается на равносильность: одинаковые преобразования обеих частей сохраняют корни. Также этот способ связан с понятием нуля функции: корень исходного уравнения является нулём функции y = ax² + bx + c. Графики полезны для оценки корней и исследования уравнений, когда точные вычисления неудобны.

Что запомнить

• Корни уравнения ax² + bx + c = 0 можно находить по пересечениям графиков y = ax² + bx и y = −c.
• Абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения.
• Две точки пересечения соответствуют двум корням, одна — одному, отсутствие пересечений — отсутствию действительных корней.
• Графическое решение обычно приближённое.
• Точность считывания корней зависит от масштаба и качества построения.
• Перед построением полезно определить вершину параболы и направление её ветвей.