§ 23. Графическое решение квадратных уравнений

Определения и обозначения

Графическое решение квадратного уравнения — нахождение его корней по точкам пересечения графика соответствующей функции с осью Ox. Этот способ превращает вычислительную задачу в работу с чертежом: нужно построить график и определить, где он встречает горизонтальную ось. По такому рисунку можно не только найти значения корней, но и увидеть их количество.

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0; её графиком является парабола. Буквы a, b и c обозначают числа, а условие a ≠ 0 гарантирует, что в формуле есть член с x². Знание вида функции помогает выбрать график, который нужно построить для решения уравнения.

Корень квадратного уравнения — значение x, при котором значение квадратичной функции равно нулю. Например, если при x = 2 получается y = 0, то 2 является корнем уравнения ax² + bx + c = 0. Это определение объясняет, почему при поиске корней нас интересует пересечение графика именно с осью Ox.

Точка пересечения графика с осью Ox — точка, у которой ордината равна нулю; её абсцисса является корнем уравнения. Ордината — это координата y, а абсцисса — координата x. Поэтому точка пересечения записывается как (x; 0), но ответом уравнения служит только число x.

Как это устроено

Чтобы связать уравнение ax² + bx + c = 0 с графиком, рассматривают функцию y = ax² + bx + c. Уравнение требует найти такие значения x, при которых выражение ax² + bx + c равно нулю. А на графике функции этим значениям соответствуют точки с y = 0, то есть точки на оси Ox. Значит, задача сводится к поиску нулей функции — значений x, при которых график пересекает эту ось.

Корни уравнения совпадают с абсциссами пересечений параболы с Ox, потому что в каждой такой точке ордината равна нулю. Если точка лежит на графике, её координаты удовлетворяют формуле функции. Поэтому при y = 0 получаем ax² + bx + c = 0, то есть исходное уравнение. Ордината здесь не может быть корнем: она уже равна нулю, а неизвестное уравнения — x.

Число корней определяется взаимным расположением параболы и оси Ox. Если график проходит сквозь ось в двух точках, их абсциссы дают два корня. Если парабола касается оси в одной точке, получается один корень: при этом график не пересекает ось насквозь, но точка всё равно принадлежит обеим линиям. Если парабола целиком расположена по одну сторону от оси, общих точек нет и действительных корней нет.

Уравнение f(x) = g(x) означает, что при одном и том же x значения двух функций совпадают. Чтобы найти такие x на чертеже, строят оба графика: y = f(x) и y = g(x). В точке их пересечения у функций одинаковая ордината, поэтому её абсцисса удовлетворяет уравнению. Если уравнение квадратное после переноса всех слагаемых в одну часть, второй график можно взять равным y = 0, то есть оси Ox.

График обычно не позволяет назвать корень с абсолютной точностью: линия имеет толщину, а точки и деления на чертеже ограничены масштабом. Поэтому значение, считанное между клетками, записывают как приближённое, используя знак ≈. Чем мельче шаг сетки и аккуратнее построение, тем точнее оценка; полезно также проверить результат подстановкой или вычислением. Число знаков после запятой должно соответствовать тому, что действительно можно различить на рисунке.

График функции y = x² − 4 показывает два пересечения с осью Ox при x = −2 и x = 2.

Графическое решение квадратных уравнений

Сначала найди, в каком виде записано уравнение, затем выбери соответствующие графики во втором столбце. После построения считай абсциссы пересечений и по их количеству определи число решений. Если точка расположена между делениями, указывай корень приближённо.

Разбор задач

Задача 1. Графически решить уравнение x² − 4 = 0.

1. Запишем функцию y = x² − 4 и построим её график. Это парабола, направленная ветвями вверх; например, её точки: (0; −4), (−2; 0), (2; 0).
2. Найдём пересечения с осью Ox, где y = 0. По точкам построения видно, что график встречает ось при x = −2 и x = 2.
3. Выпишем абсциссы этих пересечений: именно они являются корнями. При проверке получаем (−2)² − 4 = 0 и 2² − 4 = 0.

Ответ: x = −2; x = 2.

Задача 2. Графически решить уравнение x² = 2x + 3.

1. Левая и правая части задают разные функции, поэтому построим параболу y = x² и прямую y = 2x + 3. Решение уравнения — значение x, при котором у этих функций одинаковое значение.
2. Для параболы можно отметить точки (0; 0), (1; 1), (−1; 1), (2; 4) и (−2; 4). Для прямой подойдут точки (0; 3) и (1; 5); соединяем их прямой линией.
3. Находим точки пересечения графиков и считываем их абсциссы. По построению пересечения расположены при x = −1 и x = 3; проверка даёт 1 = 1 и 9 = 9 соответственно.

Ответ: x = −1; x = 3.

Задача 3. С помощью графика определить число корней уравнения x² + 2x + 3 = 0 и сделать вывод о возможности их нахождения.

1. Построим график функции y = x² + 2x + 3. Чтобы увидеть расположение параболы, преобразуем выражение: y = (x + 1)² + 2.
2. Вершина параболы имеет координаты (−1; 2), а ветви направлены вверх, поскольку коэффициент при x² положителен. Значит, даже в нижней точке графика y = 2, и вся парабола расположена выше оси Ox.
3. Пересечений с Ox нет, поэтому нет значений x, при которых функция равна нулю. Уравнение не имеет действительных корней, и считывать их с графика невозможно.

Ответ: действительных корней нет.

Типичные ошибки

Ученик называет корнями ординаты точек пересечения, хотя корни — это абсциссы. Ошибка возникает, когда координаты точки не различают и берут «не ту» координату. Проверь себя: у точки на Ox координата y всегда равна нулю, а в ответ уравнения нужно записать x.

При решении f(x) = g(x) иногда строят только один график и пытаются по нему найти пересечения. Но одной функции недостаточно: равенство означает совпадение значений двух функций при одном x. Проверь запись уравнения и убедись, что на чертеже есть графики и y = f(x), и y = g(x).

Касание параболы с Ox могут принять за отсутствие корней, потому что график не проходит сквозь ось. Однако точка касания принадлежит и параболе, и оси, а её абсцисса обращает функцию в ноль. Проведи пальцем или линейкой по месту касания и проверь, что там есть общая точка: она означает один корень.

Считывание с чертежа не даёт права записывать корень с чрезмерной точностью или без пояснения округления. Такая ошибка возникает, если по клеткам пытаются определить много цифр после запятой. Проверь масштаб и толщину линии: если точное значение не видно, используй знак ≈ и оставь разумное число знаков.

Связь с другими темами

Для графического решения нужны знания о координатной плоскости, графиках функций и точках пересечения: без них нельзя правильно построить линии и считать их координаты. Также пригодится умение исследовать квадратичную функцию, находить вершину параболы и определять направление её ветвей. Эти сведения помогают понять, где искать пересечения, даже если график не строят по множеству точек. Метод применяют при решении уравнений и систем, когда удобнее сравнить графики или оценить корни, чем выполнять точные вычисления.

Что запомнить

• Корни уравнения ax² + bx + c = 0 — это нули функции y = ax² + bx + c.
• График квадратичной функции — парабола.
• Корни находятся по абсциссам точек пересечения параболы с осью Ox.
• Две точки пересечения с осью Ox означают два корня.
• Касание оси Ox означает один корень.
• Отсутствие пересечений с осью Ox означает отсутствие действительных корней.
• Графический способ часто даёт приближённый результат.