§ 22. Функция у = ах2 + bх + с, ее свойства и график

Определения и обозначения

Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x² и влияет на направление ветвей и форму графика, b при x помогает определить положение вершины, а c задаёт значение функции при x = 0. Условие a ≠ 0 необходимо: иначе исчезает квадратный член и функция перестаёт быть квадратичной. По коэффициентам можно заранее узнать основные свойства графика.

Парабола — график квадратичной функции. Если a > 0, её ветви направлены вверх, а если a < 0 — вниз. Поэтому знак a помогает понять, есть ли у функции наименьшее или наибольшее значение. Параболы могут быть шире или уже, но при любом ненулевом a сохраняют характерную симметричную форму.

Вершина параболы — точка графика с координатами (−b/(2a); −(b² − 4ac)/(4a)). Её также обозначают (x₀; y₀), где x₀ = −b/(2a), а y₀ — значение функции при x₀. При a > 0 вершина является точкой минимума, при a < 0 — точкой максимума. Найдя её, можно определить, какие значения принимает функция.

Ось симметрии параболы — прямая x = −b/(2a), относительно которой левая и правая части графика зеркально совпадают. Она проходит через вершину и перпендикулярна оси x. Ось помогает находить пары точек графика с одинаковыми значениями y. Благодаря этому для построения часто достаточно вычислить точки лишь по одну сторону от вершины.

Как это устроено

Квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно преобразовать к виду y = a(x − m)² + n, выделив полный квадрат. В этой записи сразу видно, что при x = m квадрат скобки равен нулю, поэтому график проходит через точку (m; n). Это и есть вершина, а прямая x = m становится осью симметрии: одинаковые отклонения x от m дают одинаковое значение (x − m)². Коэффициент a перед квадратом задаёт направление ветвей.

Вершину можно найти и по формулам: сначала вычислить x₀ = −b/(2a), затем подставить его в функцию, чтобы получить y₀ = f(x₀). Почему это совпадает с выделением полного квадрата? После преобразования линейный член исчезает при x = −b/(2a), а оставшаяся часть становится значением в вершине. Например, запись y = (x − 2)² − 1 показывает те же координаты (2; −1), которые получаются по формулам. Выделение квадрата удобно для преобразования, а формулы — для быстрого вычисления.

Направление ветвей определяется знаком a, потому что при больших по модулю x слагаемое ax² становится главным: остальные слагаемые растут медленнее. Если a положительно, большие значения квадрата дают большие y, поэтому парабола раскрывается вверх и вершина задаёт минимум. Если a отрицательно, значения y уменьшаются при удалении от вершины, ветви направлены вниз, а вершина задаёт максимум. Коэффициент c этого направления не определяет.

Квадрат расстояния от x до x₀ одинаков для двух аргументов, расположенных по разные стороны от x₀ на одинаковое расстояние. Поэтому функция симметрична относительно оси x = x₀: если d > 0, то f(x₀ − d) = f(x₀ + d). При a > 0 при движении к вершине слева функция убывает, а после вершины возрастает; при a < 0 всё наоборот. Симметрия объясняет и изменение монотонности в точке вершины.

Подставить в формулу можно любое действительное x, поэтому область определения квадратичной функции — все действительные числа. Однако множество значений не обязательно совпадает с этой областью: парабола достигает минимума или максимума в вершине, а дальше уходит вверх или вниз. При a > 0 значения не меньше y₀, то есть y ≥ y₀; при a < 0 они не больше y₀, то есть y ≤ y₀. Так координата вершины вместе со знаком a задаёт границу множества значений.

Свойства функции y = ax² + bx + c

Чтобы заполнить таблицу для конкретной функции, сначала найдите a, b и координаты вершины. Затем по знаку a определите ветви, экстремум и множество значений. Ось симметрии и промежутки возрастания и убывания также зависят от x₀.

Разбор задач

Задача 1. Найдите координаты вершины и ось симметрии параболы y = x² − 4x + 3.

1. Сравним формулу с y = ax² + bx + c: a = 1, b = −4, c = 3. Абсциссу вершины вычислим по формуле x₀ = −b/(2a) = −(−4)/(2 · 1) = 2.
2. Подставим x₀ в исходную функцию: y₀ = 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Значит, вершина находится в точке (2; −1), а ось симметрии проходит через неё и задаётся уравнением x = 2.

Ответ: вершина (2; −1), ось симметрии x = 2.

Задача 2. Постройте график функции y = x² − 4x + 3 и укажите её нули и множество значений.

1. Вершина уже найдена: (2; −1), ось симметрии — x = 2. Коэффициент a = 1 > 0, значит, ветви направлены вверх, а минимум функции равен −1.
2. Для построения найдём значения в нескольких точках: f(0) = 3, f(1) = 0, f(2) = −1. По симметрии относительно x = 2 получаем также f(3) = 0 и f(4) = 3. Отметим эти точки и проведём через них плавную параболу, симметричную относительно прямой x = 2.
3. Нули функции — значения x, при которых y = 0. Из найденных точек видно, что это x = 1 и x = 3; проверка: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Поскольку вершина — минимум, множество значений: y ≥ −1.

Ответ: график — парабола с вершиной (2; −1); нули 1 и 3; множество значений [−1; +∞).

Задача 3. При каком значении p вершина графика функции y = 2x² + px + 5 лежит на прямой x = 3? Найдите множество значений полученной функции.

1. Абсцисса вершины равна x₀ = −p/(2 · 2) = −p/4. По условию она равна 3, поэтому −p/4 = 3 и p = −12.
2. Подставим найденное значение: функция имеет вид y = 2x² − 12x + 5. Ордината вершины: y₀ = 2 · 3² − 12 · 3 + 5 = −13. Значит, вершина — точка (3; −13).
3. Коэффициент a = 2 положителен, поэтому ветви направлены вверх и в вершине функция достигает минимума. Следовательно, все значения функции не меньше −13.

Ответ: p = −12; множество значений [−13; +∞).

Типичные ошибки

Иногда выражение называют квадратичной функцией даже при a = 0. Так происходит, если смотрят только на общий шаблон и не проверяют коэффициент при x². Но при a = 0 квадратный член исчезает, и получается функция другого вида. Проверьте, что в записи действительно есть ненулевой коэффициент при x².

При поиске вершины можно по ошибке подставить вместо b коэффициент c. Это случается, когда коэффициенты выписывают невнимательно; в формуле x₀ = −b/(2a) участвуют только a и b. Проверьте себя, сопоставив каждый коэффициент с его слагаемым: b стоит при x, а c — без x. После нахождения x₀ значение c учитывается при вычислении y₀.

Направление ветвей иногда определяют по знаку c, потому что этот коэффициент заметен в конце формулы. Однако c показывает лишь значение функции при x = 0, а за направление отвечает знак a при x². Для проверки представьте, что |x| очень велико: поведение графика тогда определяет слагаемое ax². Сравните знак именно этого коэффициента с направлением ветвей.

Ещё одна ошибка — записать множество значений как все действительные числа. Так можно подумать, если перепутать область определения и значения функции: аргумент действительно может быть любым, но парабола имеет минимум или максимум в вершине. Найдите y₀ и проверьте знак a. Ответ должен иметь границу y ≥ y₀ при a > 0 или y ≤ y₀ при a < 0.

Связь с другими темами

Для работы с квадратичной функцией нужны навыки подстановки значений аргумента, действий с многочленами и построения графика y = x². Вершину удобно находить, выделяя полный квадрат, поэтому важно уметь преобразовывать выражения. Эти знания пригодятся при решении квадратных уравнений и неравенств: график помогает увидеть корни и промежутки, где функция положительна или отрицательна. Тема также развивает умение исследовать графики функций.

Что запомнить

• Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a ≠ 0.
• График квадратичной функции — парабола.
• Абсцисса вершины равна −b/(2a), ось симметрии имеет уравнение x = −b/(2a).
• При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 — вниз.
• Область определения квадратичной функции — все действительные числа.
• Вершина задаёт наименьшее значение при a > 0 и наибольшее при a < 0.
• График симметричен относительно оси, проходящей через вершину.