§ 21. Как построить график функции у = f(x + I) + т, если известен график функции у = f(x)

Определения и обозначения

Запись y = f(x) задаёт исходную функцию, график которой уже известен. Буква f обозначает правило, по которому каждому допустимому x соответствует значение f(x). Это исходный график, на котором можно выбрать точки и использовать их для построения нового.

В выражении y = f(x + l) число l задаёт горизонтальный сдвиг графика. Оно стоит внутри аргумента функции, поэтому направление смещения противоположно знаку l: при положительном l график уходит влево, при отрицательном — вправо. Это правило позволяет определить новое положение графика, не подставляя значения в формулу заново.

Число m в выражении y = f(x + l) + m задаёт вертикальный сдвиг. Оно прибавляется к значению функции, поэтому изменяет высоту каждой точки на одну и ту же величину. Положительное m поднимает график, отрицательное опускает его.

Параллельный перенос графика — преобразование, при котором все точки перемещаются на один и тот же вектор, то есть на одинаковые расстояние и направление. В рассматриваемом случае этот вектор равен (−l; m). Такое определение нужно, чтобы переносить не только отдельные точки, но и весь график, сохраняя его форму.

Как это устроено

Пусть точка (a; f(a)) лежит на исходном графике. Чтобы на новом графике получить то же значение функции f(a), нужно, чтобы аргумент внутри функции равнялся a: x + l = a. Поэтому новая абсцисса равна x = a − l, а прибавление m меняет ординату на f(a) + m. Так исходная точка переходит в точку (a − l; f(a) + m).

При l > 0 график сдвигается влево, а при l < 0 — вправо. Причина в том, что внутри функции аргумент увеличен на l, и для сохранения прежнего значения f(a) переменную x приходится уменьшить на l. Например, если l = 2, то исходное значение f(a) теперь достигается при x = a − 2. Если l = −2, то оно достигается при x = a + 2.

Прибавление m происходит уже после вычисления функции и потому меняет ординату, а не абсциссу. Для каждой точки с координатами (x; y) новая точка имеет координаты (x; y + m). Если m > 0, координата y становится больше и график поднимается; если m < 0, она становится меньше и график опускается. Все точки получают одинаковую добавку, поэтому части графика не меняют положение относительно друг друга.

Для построения выбери на исходном графике несколько характерных точек: например, вершину параболы, точку пересечения с осью или точку излома. Каждую точку (a; f(a)) перемести на вектор (−l; m), то есть измени её координаты на (a − l; f(a) + m). Затем соедини новые точки линией той же формы, что и исходная: перенос не растягивает и не изгибает график. Чем точнее выбраны характерные точки, тем проще правильно изобразить результат.

Если m = 0, вертикальная координата не меняется и выполняется только горизонтальный сдвиг. Если l = 0, абсцисса остаётся прежней и весь график перемещается только вверх или вниз. При l = m = 0 обе координаты остаются прежними, поэтому график не меняется.

Сдвиг графика y = f(x) при переходе к y = f(x + l) + m

Сначала определи знаки l и m, затем прочитай направления сдвига в соответствующих столбцах. Для переноса отдельных точек используй последний столбец: он показывает, как меняются обе координаты. Если в формуле стоит вычитание, перепиши его как сложение отрицательного числа, чтобы правильно определить l.

Разбор задач

Задача 1. Построить график y = (x + 2)² по графику y = x².

1. Сравним формулы: здесь f(x) = x², l = 2, m = 0. Поскольку l положительно, график сдвигается влево, а вертикального сдвига нет. Вершина исходной параболы (0; 0) переходит в (−2; 0).

2. Возьмём ещё точки исходного графика: (1; 1) и (−1; 1). По правилу переноса первая станет (−1; 1), а вторая — (−3; 1). Это помогает увидеть, что ветви параболы остаются направленными вверх и симметричными относительно вертикали x = −2.

3. Отметим полученные точки и проведём через них параболу той же формы, что и y = x². Её вершина находится на 2 единицы левее начала координат. Ответ: график y = x², сдвинутый на 2 единицы влево.

Задача 2. Построить график y = |x − 3| + 2 по графику y = |x|.

1. Перепишем выражение внутри модуля: x − 3 = x + (−3), поэтому l = −3, а m = 2. Отрицательное l означает сдвиг вправо на 3, а положительное m — вверх на 2. Значит, весь график y = |x| переместится вправо и вверх.

2. У исходного графика вершина находится в точке (0; 0). По формуле переноса она станет (0 − (−3); 0 + 2), то есть (3; 2). Для проверки можно взять точки (−1; 1) и (1; 1): они переходят соответственно в (2; 3) и (4; 3).

3. Отметим вершину и ещё две точки, затем проведём V-образный график, сохраняя форму исходного. Его вершина теперь находится в (3; 2), а ветви направлены вверх. Ответ: график y = |x|, сдвинутый на 3 единицы вправо и на 2 вверх.

Задача 3. График y = f(x) проходит через точки (−1; 0), (0; 2), (2; −1). Найти соответствующие точки графика y = f(x + 1) − 2 и построить его по этим данным.

1. Сравним новую формулу с y = f(x + l) + m: здесь l = 1, m = −2. Поэтому каждую абсциссу нужно уменьшить на 1, а каждую ординату — на 2. Применим правило к каждой данной точке, не вычисляя функцию заново.

2. Точка (−1; 0) переходит в (−1 − 1; 0 − 2) = (−2; −2). Точка (0; 2) переходит в (0 − 1; 2 − 2) = (−1; 0). Точка (2; −1) переходит в (2 − 1; −1 − 2) = (1; −3).

3. Отметим найденные точки на координатной плоскости и перенесём исходный график на 1 единицу влево и на 2 вниз. Если известны только три точки, они определяют лишь соответствующие точки нового графика; для полного рисунка нужно сохранить форму исходного графика между ними. Ответ: (−2; −2), (−1; 0), (1; −3).

Типичные ошибки

Ошибка: при l > 0 сдвигать график вправо. Так бывает, потому что знак внутри скобок воспринимают как обычное направление перемещения. Проверь себя уравнением x + l = a: при l > 0 новая абсцисса x = a − l меньше старой, значит, точка движется влево.

Ошибка: считать, что число, прибавленное к аргументу, поднимает график. Путают расположение числа внутри функции и снаружи неё. Проверь запись: выражение внутри f меняет горизонтальное положение, а число после скобок — ординату.

Ошибка: перемещать точку на (l; m), а не на (−l; m). Она возникает, если не учитывать, что для прежнего значения функции нужно решить x + l = a. Проверь координаты подстановкой: новая абсцисса a − l должна удовлетворять равенству (a − l) + l = a.

Ошибка: менять форму графика при переносе. Иногда точки переносят неодинаково или соединяют их по-новому, потому что сосредоточиваются на отдельных координатах. Проверь себя: у всех точек один и тот же вектор (−l; m), значит, расстояния и форма частей графика сохраняются.

Связь с другими темами

Для работы со сдвигами нужно уметь читать координаты точек и строить график по известным точкам. Это позволяет выбрать характерные точки исходной функции и точно определить, куда они переместятся. Также важно понимать, как изменение аргумента и значения функции отражается в формуле: скобки внутри f связаны с горизонтальным сдвигом, а слагаемое снаружи — с вертикальным.

Преобразования графиков помогают строить более сложные функции на основе уже знакомых графиков. Вместо того чтобы каждый раз составлять таблицу значений и вычислять всё заново, можно распознать перенос и применить его к исходному рисунку. Этот приём пригодится и при исследовании свойств функции, например при поиске положения её характерных точек.

Что запомнить

• В y = f(x + l) + m горизонтальный сдвиг задаёт l, вертикальный — m.
• При l > 0 график сдвигается влево на l единиц.
• При l < 0 график сдвигается вправо на |l| единиц.
• При m > 0 график поднимается на m единиц.
• При m < 0 график опускается на |m| единиц.
• Точка (a; f(a)) переходит в точку (a − l; f(a) + m).