§ 20. Как построить график функции у = f(x) + т, если известен график функции у = f(x)

Определения и обозначения

Функция y = f(x) — исходная функция, график которой уже известен. При преобразовании каждому значению x соответствует то же самое значение x, что и раньше. Это позволяет не строить новый график с нуля, а менять положение уже знакомого графика.

Число m — постоянное слагаемое, которое прибавляют к каждому значению функции. Оно одинаково для всех x, поэтому все точки графика получают одинаковое вертикальное смещение. Знак и величина m определяют направление и расстояние переноса.

График функции y = f(x) + m — график, полученный из графика y = f(x) вертикальным переносом. Новое значение y находят, прибавляя m к исходному значению f(x). По этому правилу можно сразу определить координаты новых точек.

Вертикальный перенос — параллельное смещение графика вверх или вниз без изменения его формы. Все точки движутся по вертикальным линиям на одно и то же расстояние. Поэтому ветви, вершины и изгибы сохраняют взаимное расположение.

Как это устроено

Зафиксируем некоторое значение x. У исходной функции точка графика имеет ординату f(x), а у новой функции ордината равна f(x) + m. Разность новых и старых значений всегда одинакова: (f(x) + m) − f(x) = m. Значит, при одном и том же x точка меняет только высоту, а не положение по горизонтали.

Если m > 0, к каждой ординате прибавляется положительное число. Например, значение 4 превращается в 4 + 2 = 6, поэтому соответствующая точка поднимается на 2 единицы. При m < 0 прибавление отрицательного числа уменьшает ординату: 4 + (−3) = 1, то есть точка опускается на 3 единицы.

Пусть (a; b) лежит на графике y = f(x), поэтому f(a) = b. Для той же абсциссы a новая функция имеет значение f(a) + m = b + m. Следовательно, исходная точка переходит в (a; b + m), а все точки получают одинаковое правило перехода. Это и объясняет вертикальное, а не горизонтальное смещение.

Область определения не меняется: если исходная функция была задана при некотором x, то прибавление числа m не создаёт новых ограничений и не устраняет старые. Форма графика тоже сохраняется, потому что расстояния между ординатами точек с одинаковыми абсциссами изменяются на одну и ту же величину. Парабола остаётся параболой, угол — углом, а ломаная — ломаной.

Для построения достаточно выбрать несколько характерных точек исходного графика: вершины, точки пересечения с осями и другие удобные точки. У каждой точки оставляют ту же абсциссу и прибавляют m к ординате, после чего соединяют новые точки так же, как были соединены исходные. Чем точнее выбранные точки и соблюдена исходная форма, тем точнее получится новый график.

Как положение графика зависит от значения m

Сначала определите знак числа m, затем найдите величину вертикального смещения. В столбце с переходом точки указано универсальное правило для любой исходной точки (x; y). Последняя строка напоминает, какие свойства графика остаются неизменными.

Разбор задач

Задача 1. Построить график y = x² + 2, используя известный график y = x².

Исходный график — парабола y = x² с вершиной в точке (0; 0). В новой формуле к каждому значению функции прибавляется число 2, поэтому нужен вертикальный перенос вверх. Выполним его по правилу для координат точек.

1. Определим постоянное слагаемое: m = 2, значит, направление переноса — вверх.
2. Перенесём вершину: (0; 0) → (0; 0 + 2) = (0; 2).
3. Для любой другой точки, например (1; 1), получим (1; 3); для точки (−1; 1) — (−1; 3).
4. Проведём через новые точки параболу той же формы, что и исходная.

Ответ: график y = x² + 2 — парабола y = x², сдвинутая вверх на 2 единицы; её вершина находится в точке (0; 2).

Задача 2. Построить график y = |x| − 3, используя известный график y = |x|.

График y = |x| имеет форму угла с вершиной (0; 0). Здесь m = −3, то есть к каждой ординате прибавляется отрицательное число. Поэтому все точки нужно опустить на 3 единицы, не меняя их абсцисс.

1. Запишем величину смещения: |m| = 3.
2. Перенесём вершину: (0; 0) → (0; −3).
3. Точка (2; 2) перейдёт в (2; −1), а точка (−2; 2) — в (−2; −1).
4. Соединим новые точки двумя лучами, сохранив форму исходного графика.

Ответ: график y = |x| − 3 получен переносом графика y = |x| вниз на 3 единицы; вершина находится в точке (0; −3).

Задача 3. По графику y = f(x) известна точка (−2; 4). Указать соответствующую точку для графика y = f(x) + 1.

Нужно применить одно и то же правило ко всем точкам исходного графика. Так как m = 1, абсцисса сохраняется, а ордината увеличивается на 1. Указанная точка помогает сразу выполнить переход, а остальные характерные точки строятся точно так же.

1. Запишем координаты исходной точки: x = −2, y = 4.
2. Оставим абсциссу без изменения: x = −2.
3. Прибавим 1 к ординате: 4 + 1 = 5.
4. Аналогично перенесём остальные точки и соединим их в исходной форме.

Ответ: точка (−2; 4) переходит в точку (−2; 5), а весь график y = f(x) сдвигается вверх на 1 единицу.

Типичные ошибки

Сдвиг по горизонтали. Так ошибаются, потому что видят преобразование графика и забывают, к какой координате прибавляется m. Число m изменяет y, а не x, поэтому проверьте: у каждой новой точки абсцисса должна совпадать с исходной.

Перенос вверх при m < 0. Отрицательное число уменьшает значение функции, поэтому график опускается, а не поднимается. Для проверки замените m конкретным числом, например −2: ордината должна уменьшиться на 2.

Разные расстояния для разных точек. Ошибка возникает, если перенос выполняют приблизительно или без единого правила. Прибавление постоянного m означает одинаковый вертикальный сдвиг всех точек; сравните несколько пар точек и убедитесь, что разность ординат везде равна m.

Изменение формы или области определения. Иногда новый график строят как другую кривую или добавляют значения x, которых не было в исходной функции. Прибавление числа меняет только ординаты, поэтому форма, взаимное расположение точек и область определения должны сохраниться.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь читать график функции: находить точки, определять их абсциссы и ординаты, замечать вершины и пересечения с осями. Без этих навыков трудно выбрать характерные точки для переноса.

Преобразование опирается на понятия графика функции и координат точки на плоскости. Правило (x; y) → (x; y + m) показывает, как алгебраическая запись связана с геометрическим движением точки.

Идея вертикального переноса пригодится при построении графиков более сложных функций. Позже по похожим правилам изучают горизонтальные сдвиги, растяжения, сжатия и отражения графиков.

Что запомнить

• В y = f(x) + m число m прибавляется к каждому значению функции.
• При m > 0 график сдвигается вверх на m единиц.
• При m < 0 график сдвигается вниз на |m| единиц.
• Точка (x; y) переходит в точку (x; y + m).
• Абсциссы точек не меняются.
• Форма графика и область определения сохраняются.