§ 19. Как построить график функции у = f(x + I), если известен график функции у = f(x)

Определения и обозначения

Аргумент функции — значение, которое подставляют вместо переменной в запись функции; в выражении f(x + l) аргументом служит x + l. Например, если x = 2, то аргумент равен 2 + l. Это понятие помогает не перепутать переменную x со всем выражением, от которого зависит значение функции.

Сдвиг графика — перенос каждой точки графика на один и тот же вектор без изменения формы графика. Точки не растягиваются и не поворачиваются, а только меняют положение. Так можно построить новый график по уже известному, не вычисляя функцию заново для каждого значения.

Вектор переноса задаёт направление и величину сдвига; для графика y = f(x + l) это вектор (−l; 0). Первая координата показывает, насколько меняется абсцисса, а нулевая вторая координата означает, что ордината остаётся прежней. По знаку первой координаты можно определить, куда переносить график.

Как это устроено

Пусть на исходном графике есть точка с абсциссой a и ординатой f(a). Чтобы на новом графике получить ту же ординату, нужно подобрать x так, чтобы значение внутри функции стало равным a: x + l = a. Решая это уравнение, получаем x = a − l. Поэтому прежнее значение функции появляется при другой абсциссе.

Значит, точка (a; f(a)) переходит в точку (a − l; f(a)). Ордината сохраняется, потому что мы специально оставили аргумент функции равным a, а значит, значение f(a) осталось тем же. Абсцисса меняется на −l, поэтому все точки перемещаются на одинаковое расстояние по горизонтали.

Если l > 0, то число −l отрицательное: абсцисса каждой точки уменьшается, и график уходит влево на l единиц. Например, при l = 3 точка с абсциссой 5 окажется при абсциссе 2. Если l < 0, то −l положительно, поэтому график сдвигается вправо на |l| единиц.

Форма графика сохраняется, потому что у всех точек меняется абсцисса на одно и то же число, а ординаты остаются прежними. Расстояния между точками также не меняются: каждой точке добавляют одинаковое горизонтальное перемещение. Для построения достаточно перенести характерные точки и затем воспроизвести прежнюю линию в новом положении.

Область определения новой функции нужно проверять отдельно: выражение x + l должно принадлежать области определения f. Если исходный график задан при x от a до b включительно, то x + l должен лежать между a и b. После вычитания l получаем новую область [a − l; b − l]. Для других областей, например с исключёнными точками, сдвигаются и эти границы, и исключения.

Как меняется график при замене f(x) на f(x + l)

Сначала найдите в таблице знак l, чтобы определить направление переноса, а затем измените абсциссы точек по правилу a → a − l. Ординату каждой точки оставьте прежней. Последняя строка позволяет проверить, не изменили ли вы случайно форму графика.

Разбор задач

Задача 1. Известен график y = f(x). Построить график y = f(x + 3), отметив, куда перейдут точки (−2; 1) и (1; 4). Нужно выяснить, какое значение x на новом графике даёт прежнюю ординату каждой точки. Поскольку число в скобках прибавляется, здесь l = 3.

1. Запишем правило переноса: (a; f(a)) → (a − l; f(a)). При l = 3 вектор равен (−3; 0), поэтому абсцисса уменьшается на 3.
2. Для точки (−2; 1) получаем новую абсциссу −2 − 3 = −5. Ордината остаётся равной 1, значит, точка переходит в (−5; 1).
3. Для точки (1; 4) новая абсцисса равна 1 − 3 = −2. Ордината 4 сохраняется, поэтому получаем (−2; 4).
4. Переносим таким же образом остальные точки исходного графика. Соединяем их с сохранением прежней формы, не меняя высоту графика.

Ответ: график сдвигается влево на 3 единицы; точки переходят в (−5; 1) и (−2; 4).

Задача 2. Построить график y = (x + 2)², используя график y = x². Исходную функцию обозначим f(x) = x², тогда новая запись имеет вид f(x + 2). Здесь l = 2, и по правилу абсциссы уменьшаются на 2, а ординаты остаются прежними.

1. Возьмём несколько удобных точек параболы y = x²: вершину (0; 0), а также точки (1; 1), (−1; 1), (2; 4) и (−2; 4).
2. Перенесём каждую точку на 2 единицы влево. Вершина станет (−2; 0), точки (1; 1) и (−1; 1) перейдут в (−1; 1) и (−3; 1).
3. Точки (2; 4) и (−2; 4) перейдут в (0; 4) и (−4; 4). Отметим новые точки и проведём через них параболу той же формы.
4. Проверим результат по вершине: выражение (x + 2)² обращается в ноль при x = −2, поэтому вершина действительно находится в точке (−2; 0).

Ответ: парабола y = x² сдвигается влево на 2 единицы; её вершина — (−2; 0).

Задача 3. График y = f(x) задан на отрезке [−1; 4]. Определить область определения и построить график y = f(x − 2), указав перенос точек. Запишем x − 2 в виде x + l: здесь l = −2. Поэтому точки должны переместиться вправо, хотя внутри скобок стоит знак минус.

1. Для допустимых значений новой функции выражение x − 2 должно принадлежать отрезку [−1; 4]. Запишем двойное неравенство: −1 ≤ x − 2 ≤ 4.
2. Прибавим 2 ко всем частям неравенства. Получим 1 ≤ x ≤ 6, значит, область определения новой функции — [1; 6].
3. По правилу переноса абсцисса a меняется на a − l. Так как l = −2, новая абсцисса равна a + 2, а ордината f(a) остаётся прежней.
4. Например, границы исходного промежутка −1 и 4 переходят в 1 и 6. Все точки между ними также сдвигаются вправо на 2 единицы, сохраняя свои ординаты.

Ответ: график переносится вправо на 2 единицы, а область определения равна [1; 6]. Каждая точка (a; f(a)) переходит в (a + 2; f(a)).

Типичные ошибки

Ошибка: сдвигать график y = f(x + l) вправо при l > 0. Так происходит, если ориентироваться на знак плюс внутри скобок, не находя новую абсциссу. Проверьте перенос уравнением x + l = a: при положительном l получается x = a − l, то есть движение влево.

Ошибка: переносить точки вверх или менять их ординаты. Иногда выражение f(x + l) принимают за прибавление числа к значению функции, хотя l стоит внутри аргумента. Чтобы проверить себя, возьмите точку (a; f(a)) и убедитесь, что после переноса её вторая координата осталась f(a).

Ошибка: считать величиной переноса число −l. Число −l задаёт горизонтальную координату вектора, а не обязательно положительную длину пути. Направление показывает знак, а расстояние равно |l|; например, при l = −4 график сдвигается вправо на 4 единицы.

Ошибка: забывать про область определения. Новая функция существует лишь там, где выражение x + l допустимо для исходной f. Проверьте условие x + l ∈ D(f); если исходная область — отрезок [a; b], результат должен быть [a − l; b − l].

Связь с другими темами

Для применения правила нужно уметь читать координаты точек и строить график по точкам. Если известны абсцисса и ордината точки, её легко перенести на новый график, изменив только первую координату. Несколько правильно перенесённых характерных точек помогают восстановить всю линию.

Также понадобится понятие области определения — множества значений x, при которых функция имеет смысл. При замене аргумента условие допустимости нужно записывать для выражения целиком, например x + l, а затем решать полученное неравенство. Так можно найти новые границы области и не включить недопустимые значения.

Горизонтальный перенос полезен при построении графиков, где одновременно меняется аргумент и значение функции, например y = f(x + l) + k. Сначала можно изменить положение графика по горизонтали, затем учесть сдвиг по вертикали на k. Понимание каждого преобразования отдельно помогает не перепутать направления.

Что запомнить

• В выражении f(x + l) меняется аргумент функции.
• График y = f(x + l) получается переносом графика y = f(x) на вектор (−l; 0).
• При l > 0 график сдвигается влево на l единиц.
• При l < 0 график сдвигается вправо на |l| единиц.
• Ординаты точек при переносе не меняются.
• Точка (a; f(a)) переходит в точку (a − l; f(a)).