"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Функция y = k/x описывает обратную пропорциональность: при неизменном ненулевом k произведение x и y остаётся постоянным. Её график — гипербола из двух отдельных ветвей. Знак коэффициента k показывает, в каких четвертях расположены ветви, а также определяет, возрастает функция или убывает на каждом промежутке своей области определения. Эти свойства помогают строить график, проверять принадлежность точки и находить неизвестный коэффициент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная пропорциональность — зависимость, заданная формулой y = k/x, где k ≠ 0. При такой зависимости произведение x · y остаётся равным одному и тому же числу k: если x увеличивается в несколько раз, y во столько же раз уменьшается по модулю. Эта формула помогает описывать ситуации, в которых две величины изменяются противоположным образом.
Коэффициент обратной пропорциональности — число k в формуле y = k/x. Оно равно произведению координат любой точки графика и задаёт не только числовую связь между x и y, но и расположение ветвей. По знаку k можно сразу определить четверти, в которых находится график.
Гипербола — график функции y = k/x при k ≠ 0. Он состоит из двух отдельных ветвей, расположенных по разные стороны от начала координат. Зная форму гиперболы и правило для коэффициента, удобно строить график по нескольким точкам и проверять, подходит ли точка к данной функции.
Коэффициент k не может быть нулём, потому что тогда формула превратится в y = 0 для всех допустимых x и не будет задавать обратную пропорциональность. Аргумент x тоже не может равняться нулю: он стоит в знаменателе, а деление на ноль не определено. Поэтому при работе с функцией нужно сразу исключить x = 0.
Область определения — это все значения x, для которых можно вычислить y. Подставить разрешено любое число, кроме нуля, значит, область определения состоит из всех ненулевых чисел. Значение y также никогда не равно нулю: дробь с ненулевым числителем k не может обратиться в ноль. Поэтому множество значений функции — тоже все числа, кроме нуля.
График распадается на две ветви, потому что его точки существуют отдельно при x < 0 и при x > 0, а перейти через x = 0 нельзя. Если k > 0, дробь k/x положительна при положительном x и отрицательна при отрицательном x, поэтому ветви лежат в I и III четвертях. Если k < 0, знаки x и y различаются, и ветви расположены во II и IV четвертях.
Чтобы получить точки графика, выбирают ненулевые x и подставляют их в формулу. Например, при k = 6 для x = 2 получаем y = 3, а для x = −2 получаем y = −3. Если заменить обе координаты точки на противоположные, равенство сохранится: k/(−x) = −y. Поэтому точки (x; y) и (−x; −y) расположены симметрично относительно начала координат.
На каждом из промежутков области определения функция убывает при k > 0 и возрастает при k < 0. Это правило относится отдельно к промежуткам x < 0 и x > 0: между ними находится запрещённое значение x = 0. При положительном k рост x приводит к уменьшению y на каждом промежутке, а при отрицательном k — к увеличению y. Сравнивать значения по разные стороны от нуля как один общий промежуток нельзя.
| Свойство | k > 0 | k < 0 |
|---|---|---|
| Область определения | Все числа, кроме 0 | Все числа, кроме 0 |
| Множество значений | Все числа, кроме 0 | Все числа, кроме 0 |
| Расположение ветвей графика | I и III четверти | II и IV четверти |
| Монотонность на каждом промежутке области определения | Убывает | Возрастает |
| Симметрия графика | Относительно начала координат | Относительно начала координат |
Сначала определите знак k, чтобы выбрать нужный столбец и установить расположение ветвей и монотонность. Область определения, множество значений и симметрия не зависят от знака коэффициента. Помните, что монотонность рассматривают отдельно на промежутках (−∞; 0) и (0; +∞).
Для построения графика найдём несколько точек, подставляя удобные ненулевые значения x. Лучше выбирать такие числа, на которые 6 делится без остатка: тогда значения y будут целыми и точки легко отметить на координатной плоскости.
Выберем x = 1, 2, 3, 6 и соответствующие отрицательные числа −1, −2, −3, −6. Ноль не берём, поскольку функция при x = 0 не определена.
Вычислим y = 6/x. Получим таблицу: при x = 1, 2, 3, 6 значения y равны 6, 3, 2, 1; при x = −1, −2, −3, −6 значения y равны −6, −3, −2, −1.
Отметим точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1) и точки с противоположными координатами. Поскольку k = 6 > 0, ветви должны лежать в I и III четвертях; это служит проверкой построения.
Плавно проведём две ветви через отмеченные точки, не соединяя их между собой. Они приближаются к осям координат, но не пересекают их.
Ответ: график — гипербола с ветвями в I и III четвертях, проходящая через найденные точки.
Точка принадлежит графику, если её координаты удовлетворяют формуле функции. Важно подставить на место x первую координату, а на место y — вторую, не меняя их местами.
Подставим x = −3 и k = −6 в формулу: y = (−6)/(−3).
Вычислим значение правой части: y = 2. Оно совпало со второй координатой точки A.
Проверим знак: k < 0, а координаты точки имеют разные знаки, что согласуется с расположением ветвей во II и IV четвертях.
Ответ: точка A(−3; 2) принадлежит графику.
Если точка лежит на графике, её координаты связаны формулой y = k/x. Чтобы найти неизвестный коэффициент, подставим известные x и y, а затем выразим k.
Подставим x = 4 и y = −3: −3 = k/4.
Умножим обе части равенства на 4: k = −12. Коэффициент отрицательный, что также видно по противоположным знакам координат точки.
Для отрицательного k ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях. Точка B с координатами (4; −3) находится в IV четверти, значит, вывод согласуется с условием.
Ответ: k = −12; ветви расположены во II и IV четвертях.
В область определения иногда включают x = 0, потому что его считают обычным числовым аргументом. Но подстановка нуля приводит к делению на ноль, которое не имеет значения. Проверяйте область определения по знаменателю: он не должен обращаться в ноль.
Другая ошибка — считать, что при x = 0 функция принимает значение 0. Здесь смешивают два разных случая: нулевое значение функции и невозможность вычислить выражение. При k ≠ 0 дробь k/x не равна нулю ни при одном допустимом x, а при x = 0 она вообще не определена.
Четверти графика иногда выбирают, не учитывая знак k, например ориентируются только на то, что x стоит в знаменателе. Проверьте знаки дроби отдельно при x > 0 и x < 0: при k > 0 знаки x и y совпадают, при k < 0 — противоположны. Такой анализ сразу показывает правильные четверти.
Нельзя соединять ветви через оси или начало координат, хотя на рисунке они кажутся близкими к ним. Это делают, забывая, что функция не определена при x = 0 и не принимает значение y = 0. При проверке графика убедитесь, что он не пересекает ни одну из координатных осей.
До изучения обратной пропорциональности нужно уметь вычислять значения функции по формуле, работать с координатной плоскостью и строить график по таблице. Эта тема связывает вычисления с графическим представлением зависимости: знак и величина коэффициента отражаются на форме и положении ветвей. Такие навыки пригодятся при изучении дробно-рациональных выражений и решении задач на зависимости величин, когда произведение связанных чисел постоянно.
Почему коэффициент k не может быть равен нулю?
Если k = 0, формула y = k/x даёт y = 0 при любом x ≠ 0. Это уже не обратная пропорциональность, определённая для ненулевого коэффициента. Поэтому в записи функции требуется условие k ≠ 0.
Почему функция y = k/x не определена при x = 0?
При x = 0 в знаменателе получается ноль, а делить на ноль нельзя. Значит, для этого аргумента нельзя вычислить значение функции. Ноль не входит в область определения.
Как по знаку k определить, в каких четвертях расположены ветви гиперболы?
Если k > 0, x и y имеют одинаковые знаки: при положительном x значение y положительно, а при отрицательном x — отрицательно. Поэтому ветви находятся в I и III четвертях. Если k < 0, знаки x и y противоположны, и ветви лежат во II и IV четвертях.
Почему ветви графика нельзя соединить через начало координат?
При x = 0 функция не определена, поэтому точки графика на оси y нет. Кроме того, y = k/x не может быть равно нулю при k ≠ 0, так что график не пересекает и ось x. Ветви приближаются к осям, но не соединяются через начало координат.
Как найти коэффициент k, если известна точка графика?
Подставьте координаты точки (x; y) в формулу y = k/x. Затем умножьте обе части равенства на x и получите k = xy. Например, для точки (4; −3) коэффициент равен 4 · (−3) = −12.
§ 18. Функция у = k/x, ее свойства и график
