§ 17. Функция у = kx^2, ее свойства и график

Определения и обозначения

Функция вида y = kx² — зависимость, в которой квадрат аргумента x умножается на постоянное число k. Аргумент — это входное значение функции, а y — соответствующее ему значение. Коэффициент k задаёт форму графика и его положение относительно оси x. Если k = 0, формула становится y = 0: графиком будет ось x, а не парабола.

Коэффициент k — постоянный множитель перед x². Его знак определяет, в какую сторону направлены ветви графика, а модуль, то есть величина без учёта знака, — насколько парабола узкая или широкая. Это удобно использовать, чтобы заранее предсказать вид графика и проверить вычисления. Например, при k = −2 ветви направлены вниз, а множитель 2 делает параболу уже, чем y = −x².

Парабола — график функции y = kx² при k ≠ 0. Её вершина находится в точке (0; 0), а ось симметрии совпадает с осью y. Вершина помогает увидеть, где график меняет направление, а симметрия позволяет строить его по точкам только с одной стороны от оси.

Область значений функции — множество всех чисел y, которые она принимает. Поскольку квадрат x² неотрицателен, при k > 0 получаем y ≥ 0, а при k < 0 — y ≤ 0. Знание области значений помогает проверить, может ли заданное число быть ответом функции. При k = 0 область значений состоит только из числа 0.

Как это устроено

График строят по таблице: выбирают несколько значений x, подставляют их в формулу и вычисляют y. Например, для y = x² при x = −2 получаем y = (−2)² = 4, а при x = 1 — y = 1. Затем пары координат отмечают на плоскости и соединяют плавной линией. Несколько точек показывают форму графика, а подстановка помогает не перепутать знак или порядок действий.

Для противоположных аргументов значения функции совпадают: k(−x)² = kx². Поэтому, если на графике есть точка с абсциссой 2, то такая же высота будет у точки с абсциссой −2. Точки располагаются зеркально относительно оси y, и график симметричен относительно этой оси. При x = 0 получается y = 0, а именно здесь сходятся обе половины параболы и находится её вершина.

Квадрат любого числа не меньше нуля, поэтому знак результата определяется знаком k. При k > 0 все точки графика лежат на оси x или выше неё, а ветви раскрываются вверх. При k < 0 произведение kx² неположительно, значит, график лежит на оси x или ниже неё и ветви направлены вниз. Так знак коэффициента сразу подсказывает и вид параболы, и границу множества её значений.

Модуль коэффициента меняет вертикальное расстояние точек от оси x: при одинаковом x значение |y| равно |k|x². Если увеличить |k|, это расстояние увеличится, поэтому ветви станут круче, а парабола — уже. Если уменьшить |k|, ненулевые значения y приблизятся к нулю и график станет шире. Вершина при этом не сдвигается, поскольку при x = 0 значение функции всё равно равно нулю.

Монотонность описывает, как меняются значения функции при движении слева направо. При k > 0 на левой половине параболы, до вершины, значения уменьшаются, а после вершины увеличиваются. При k < 0 порядок меняется: слева значения возрастают к вершине, а справа убывают. Причина в том, что ветви сначала подходят к вершине, а затем удаляются от неё, но направление этого движения зависит от знака k.

Свойства функции y = kx² при k ≠ 0

В таблице сначала найдите знак коэффициента, а затем прочитайте нужный столбец: он подскажет диапазон значений и поведение графика. Скобки с числом 0 включают вершину в промежуток монотонности, потому что функция достигает там своего наименьшего или наибольшего значения. При k = 0 пользуйтесь отдельным случаем: график тогда не является параболой.

Разбор задач

1. Постройте график функции y = x² по таблице значений для x = −2, −1, 0, 1, 2.

Нужно вычислить y для каждого заданного x, отметить полученные точки и увидеть симметрию графика. У функции y = x² коэффициент k равен 1, поэтому ветви направлены вверх. Проверка значений для противоположных x поможет убедиться, что точки расположены согласованно.

1. Подставим x = −2, −1, 0, 1, 2 в формулу y = x².
2. Получим значения y: 4, 1, 0, 1, 4 соответственно.
3. Составим точки: (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4).
4. Отметим точки на координатной плоскости и плавно соединим их параболой. Точки для x и −x находятся на одинаковой высоте.

Ответ: график — парабола с вершиной (0; 0), ветви направлены вверх.

2. Постройте график функции y = −2x² и укажите её область значений и промежутки монотонности.

Сначала определим свойства по коэффициенту: здесь k = −2, значит, ветви направлены вниз, а все значения y не больше нуля. Для построения удобно выбрать симметричные значения x. Множитель 2 увеличивает расстояние точек от оси x по сравнению с y = −x².

1. Возьмём x = −2, −1, 0, 1, 2 и вычислим y = −2x².
2. Получим значения −8, −2, 0, −2, −8 и точки (−2; −8), (−1; −2), (0; 0), (1; −2), (2; −8).
3. Нанесём точки и соединим их плавной параболой с вершиной в начале координат и ветвями вниз.
4. Так как k < 0, функция возрастает слева от вершины и убывает справа.

Ответ: область значений y ≤ 0; функция возрастает на (−∞; 0] и убывает на [0; +∞).

3. График функции y = kx² проходит через точку (2; 12). Найдите k и постройте график.

Точка принадлежит графику, значит, её координаты должны удовлетворять формуле. Подставим значение x = 2 и соответствующее ему y = 12, чтобы найти неизвестный коэффициент. После этого можно определить направление ветвей и вычислить несколько дополнительных точек.

1. Подставим координаты точки: 12 = k · 2².
2. Так как 2² = 4, получаем 12 = 4k, откуда k = 3.
3. Запишем функцию y = 3x². Коэффициент положителен, поэтому ветви направлены вверх, а область значений — y ≥ 0.
4. Для построения возьмём x = −1, 0, 1: получим точки (−1; 3), (0; 0), (1; 3). Добавим заданную точку (2; 12) и симметричную ей (−2; 12), затем проведём параболу.

Ответ: k = 3; график функции y = 3x² — парабола с вершиной (0; 0), ветвями вверх и областью значений y ≥ 0.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при отрицательном k ветви параболы направлены вверх. Так происходит, если ориентироваться только на квадрат x² и забыть знак множителя. Проверьте значение при x = 1: тогда y = k, и при k < 0 точка графика окажется ниже оси x, значит, ветви направлены вниз.

Ошибка: думать, что изменение |k| переносит график вверх или вниз. Коэффициент меняет ширину параболы, а вершина остаётся в начале координат, потому что при x = 0 значение y всегда равно 0. Для проверки подставьте x = 0 в новую формулу: если получилось не 0, значит, записана уже другая функция.

Ошибка: записывать разные значения функции для x и −x. Причина обычно в том, что знак минус перед числом принимают за минус перед квадратом, хотя (−x)² = x². Подставьте, например, 2 и −2: оба значения должны быть равны 4k, а соответствующие точки — симметричны относительно оси y.

Ошибка: указывать, что область значений — все действительные числа. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому при положительном k значения y неотрицательны, а при отрицательном — неположительны. Проверяйте границы по знаку k и подстановке x = 0: ноль входит в множество значений в обоих случаях.

Связь с другими темами

Для построения графика нужны умения возводить числа в квадрат, подставлять значения в формулу и отмечать точки на координатной плоскости. Понятия функции, области определения и множества значений помогают описывать график не только рисунком, но и словами. Чтение графиков пригодится, чтобы определять поведение функции и сравнивать её значения. Позже свойства этой параболы помогут разбирать квадратичную функцию общего вида и решать уравнения графическим способом.

Что запомнить

• График функции y = kx² при k ≠ 0 — парабола с вершиной в точке (0; 0).
• Ось симметрии параболы — ось y.
• При k > 0 ветви направлены вверх, при k < 0 — вниз.
• Область определения при любом k — все действительные числа.
• При k > 0 значения функции неотрицательны, при k < 0 — неположительны.
• Чем больше |k|, тем уже парабола.
• При k = 0 график — прямая y = 0, а не парабола.