§ 22. Дробно-линейная функция

Определения и обозначения

Дробно-линейная функция — функция вида y = (ax + b)/(cx + d), где a, b, c, d — числа, c ≠ 0 и ad − bc ≠ 0. Условие c ≠ 0 означает, что в знаменателе есть переменная: иначе при ненулевом знаменателе получилось бы линейное выражение, делённое на постоянное число. Условие ad − bc ≠ 0 исключает случай, когда числитель и знаменатель пропорциональны, а функция становится постоянной. Эти условия оставляют именно тот вид функции, график которого является гиперболой.

Область определения — множество всех значений x, для которых выражение функции имеет смысл. У дробно-линейной функции знаменатель cx + d не должен равняться нулю, поэтому из всех действительных чисел исключают x = −d/c. Это правило помогает не подставить в формулу значение, при котором делить нельзя. Область определения удобно находить до любых вычислений и построения графика.

Асимптоты графика — прямые, к которым ветви графика приближаются, когда переменная уходит далеко или подходит к запрещённому значению. Для функции y = (ax + b)/(cx + d) это прямые x = −d/c и y = a/c. Первая связана с нулём знаменателя, а вторая показывает значение, к которому стремится функция при больших по модулю x. Асимптоты помогают определить расположение ветвей и построить график.

Гипербола — график функции, который в данном случае можно привести к виду y = k/(x − m) + n. Здесь m и n задают сдвиг графика по осям, а k влияет на направление и форму ветвей. Поэтому для построения дробно-линейной функции не обязательно выбирать много точек: достаточно разобраться в её преобразованной формуле. Центр гиперболы находится в точке пересечения её асимптот.

Как это устроено

Чтобы увидеть знакомую гиперболу, разделим числитель на знаменатель так, чтобы выделить постоянную часть. В выражении y = (ax + b)/(cx + d) удобно представить числитель как (a/c)(cx + d) плюс остаток b − ad/c. Тогда первая часть после деления даёт a/c, а остаток превращается в дробь с знаменателем cx + d. Если вынести из знаменателя c и записать его как c(x + d/c), получим y = a/c + (bc − ad)/c² · 1/(x + d/c). Поэтому m = −d/c, n = a/c, k = (bc − ad)/c², и формула принимает вид y = k/(x − m) + n.

Запрещённое значение получается из самого знаменателя: решаем cx + d = 0 и находим x = −d/c. В преобразованной формуле это то же значение x = m, при котором выражение x − m обращается в ноль. При приближении к m знаменатель дробной части становится очень маленьким, а значения функции по модулю — очень большими. Поэтому ветви подходят к вертикальной прямой x = m, не имея на ней точки.

Формула y = k/(x − m) + n показывает, как получается график: сначала берут гиперболу y = k/x, затем сдвигают её на m единиц по горизонтали и на n единиц по вертикали. Центр исходной гиперболы — начало координат, а после сдвига центр становится точкой (m; n). Прямые x = m и y = n проходят через этот центр и являются асимптотами. Симметрия относительно центра сохраняется, потому что сдвиг не меняет форму графика.

При больших по модулю x дробь k/(x − m) становится всё ближе к нулю, поэтому y становится всё ближе к n = a/c. Так возникает горизонтальная асимптота y = a/c. Однако функция не принимает значение n: равенство k/(x − m) = 0 невозможно, если k ≠ 0. Условие ad − bc ≠ 0 как раз обеспечивает k ≠ 0, поэтому график не пересекает горизонтальную асимптоту.

Расположение ветвей определяется знаком k. Если k > 0, то при x > m дробная часть положительна и y > n, а при x < m она отрицательна и y < n; ветви находятся в первой и третьей четвертях относительно центра. Если k < 0, знаки меняются: справа от центра y < n, а слева y > n, поэтому ветви лежат во второй и четвёртой четвертях. Знак удобно определить до построения: он подсказывает, с какой стороны от асимптот искать точки графика.

Свойства функции y = (ax + b)/(cx + d)

Таблица помогает быстро проверить основные свойства функции по её коэффициентам. Сначала найди запрещённое значение и асимптоты, а затем при необходимости преобразуй формулу, чтобы определить знак k и положение ветвей. Указанные характеристики справедливы при выполнении обоих условий на коэффициенты.

Разбор задач

Задача 1. Найти область определения функции y = (2x + 3)/(x − 4). Нужно определить, при каком значении знаменатель обращается в ноль, и исключить его. Числитель на область определения не влияет, если знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем знаменатель к нулю: x − 4 = 0.
2. Решим уравнение: x = 4. При этом значении деление невозможно.
3. Исключим 4 из множества действительных чисел; все остальные значения допустимы.

Ответ: область определения — все действительные числа, кроме x = 4.

Задача 2. Преобразовать функцию y = (3x − 2)/(x + 1) к виду y = k/(x − m) + n и указать асимптоты. Выделим в числителе выражение, кратное знаменателю x + 1. Так можно отделить постоянную часть и прочитать значения m и n.

1. Представим числитель как 3(x + 1) − 5, поскольку 3(x + 1) − 5 = 3x − 2.
2. Разделим каждую часть на x + 1: y = 3 − 5/(x + 1). Запишем x + 1 как x − (−1), значит k = −5, m = −1, n = 3.
3. Из преобразованного вида прочитаем асимптоты: вертикальная проходит через x = m, горизонтальная имеет уравнение y = n.

Ответ: y = −5/(x + 1) + 3; асимптоты — x = −1 и y = 3.

Задача 3. Построить график функции y = (2x + 1)/(x − 1), указав центр симметрии и поведение ветвей. Для построения сначала перепишем функцию как сумму постоянной и дробной частей. Затем отметим асимптоты и расположим ветви по знаку коэффициента k.

1. Представим числитель как 2(x − 1) + 3 и разделим на x − 1: y = 2 + 3/(x − 1).
2. Здесь m = 1, n = 2, k = 3. Асимптоты — x = 1 и y = 2, а их точка пересечения (1; 2) является центром симметрии.
3. Так как k > 0, ветви находятся справа и выше центра, а также слева и ниже центра. Для ориентировочных точек можно подставить x = 2 и x = 0: получатся точки (2; 5) и (0; −1).

Ответ: строим гиперболу y = 3/(x − 1) + 2 с центром (1; 2), асимптотами x = 1 и y = 2 и ветвями в первой и третьей четвертях относительно центра.

Типичные ошибки

Первая ошибка — включить корень знаменателя в область определения. Часто ученик правильно решает уравнение cx + d = 0, но забывает, что в этой точке исходная дробь не существует. Проверка простая: подставь найденное значение в знаменатель — если выходит ноль, его нужно вычеркнуть. Остальные значения из-за одного только знаменателя исключать не требуется.

Вторая ошибка — поменять местами вертикальную и горизонтальную асимптоты. Их находят по разным правилам: ноль знаменателя даёт x = −d/c, а отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе даёт y = a/c. Помогает проверка букв: вертикальная прямая задаётся условием на x, горизонтальная — на y. Можно также сверить результат с видом y = k/(x − m) + n.

Третья ошибка — считать, что график пересекает горизонтальную асимптоту. Такое предположение может возникнуть, если воспринимать асимптоту просто как обычную прямую графика. Но при y = n пришлось бы решить k/(x − m) = 0, а дробь с ненулевым числителем нулю не равна. Для проверки подставь y = n в преобразованную формулу и убедись, что решения нет.

Четвёртая ошибка — потерять знак или множитель при нахождении k. При преобразовании легко забыть, что знаменатель cx + d = c(x − m), поэтому остаток в числителе делится ещё на c. Надёжная проверка — подставить найденные m, n, k в форму y = k/(x − m) + n и привести её к исходной дроби. Коэффициент k должен совпасть с (bc − ad)/c², а при заданных условиях он не равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с дробно-линейной функцией нужно уметь находить нули линейных выражений и преобразовывать алгебраические дроби. Построение опирается на знакомый график y = 1/x: график дробно-линейной функции получается из гиперболы с помощью сдвига и изменения масштаба. Понятие области определения связывает тему с изучением функций в целом. Позже эти умения помогут исследовать рациональные выражения, преобразовывать графики и решать рациональные уравнения графическим способом.

Что запомнить

• Общий вид дробно-линейной функции: y = (ax + b)/(cx + d), где c ≠ 0 и ad − bc ≠ 0.
• Из области определения исключается x = −d/c.
• После преобразования функция имеет вид y = k/(x − m) + n.
• Асимптоты графика: x = −d/c и y = a/c.
• Центр симметрии гиперболы — точка пересечения её асимптот.
• График дробно-линейной функции — гипербола.