"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Модуль можно применить к значению функции или к её аргументу — и графики получатся разными. В первом случае отрицательные значения функции становятся положительными, а во втором используется правая часть исходного графика и зеркально переносится влево. Эти правила помогают строить новые графики по уже известным, находить нули и множество значений. Перед построением нужно проверить, где функция вообще определена.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = |f(x)| получает значение, равное модулю значения f(x) при том же x. Её область определения — все x, для которых определена исходная функция f(x). Это обозначение нужно, когда требуется сделать значения функции неотрицательными, не меняя аргументы.
Функция y = f(|x|) получается, если в выражение f вместо x подставить |x|. Она существует для тех x, для которых |x| принадлежит области определения f, то есть для которых исходную функцию можно вычислить при таком аргументе. Это правило нужно, чтобы понять, какие части исходного графика участвуют в построении.
График y = |f(x)| строят из графика y = f(x), заменяя отрицательные ординаты их противоположными, а неотрицательные оставляя прежними. Ордината — это координата точки по вертикали, то есть её значение y. Так график оказывается на оси Ox или выше неё.
График y = f(|x|) получают, сохраняя часть графика y = f(x) при x ≥ 0 и отражая её относительно оси Oy. Ось Oy — вертикальная ось координат; при таком отражении точка (x; y) переходит в точку (−x; y). Это определение подсказывает, какую половину исходного графика использовать.
В формуле y = |f(x)| модуль действует на результат вычисления f(x), а x остаётся прежним. Если точка исходного графика находится выше Ox, её ордината уже неотрицательна и модуль её не меняет. Если точка ниже Ox, её ордината отрицательна: модуль меняет знак, поэтому точка оказывается на той же высоте над осью. Нули функции лежат на Ox и остаются на месте.
В выражении f(|x|) модуль действует иначе: он меняет аргумент, который поступает в функцию. Поскольку |x| ≥ 0, значения исходной функции берутся только при аргументах из правой половины её области определения. Для отрицательных x модуль даёт соответствующее положительное число, например |−3| = 3, поэтому значение повторяет значение при x = 3. Отсюда и правило: правую часть сохраняют, а затем зеркально отражают влево.
Область определения ограничивает построение ещё до любых отражений. Для |f(x)| допустимы ровно те x, где определена f(x), поскольку взятие модуля от результата не добавляет новых значений функции. Для f(|x|) надо проверить уже аргумент |x|: он должен попасть в область определения f. Если, например, f задана только для положительных аргументов, график f(|x|) не появится вблизи x = 0, пока модуль не станет допустимым.
График f(|x|) симметричен относительно Oy из-за равенства |−x| = |x|. Значит, при допустимых x значения в точках x и −x одинаковы, даже если исходные f(x) и f(−x) различались. Это свойство относится именно к новому графику и не означает, что исходная функция симметрична. Если область определения f не содержит нужных неотрицательных аргументов, соответствующих точек не будет.
При построении по формуле сначала определяют область существования функции, затем находят контрольные точки и нули. Нули — это значения x, при которых y = 0; для графика они показывают пересечения с Ox. Далее выясняют, где исходная функция положительна и где отрицательна: это важно для y = |f(x)|, потому что меняется только отрицательная часть. Если дан готовый график, те же действия выполняют геометрически, сверяясь с областью определения.
| Характеристика | y = f(x) | y = |f(x)| | y = f(|x|) |
|---|---|---|---|
| Область определения | Область определения f | Та же, что у f | Все x, для которых |x| принадлежит области определения f |
| Множество значений | Значения f | Неотрицательные значения |f(x)| | Значения f на допустимых неотрицательных аргументах |
| Изменение точек исходного графика | Без преобразования | Точки ниже Ox отражаются вверх | Правая часть отражается относительно Oy |
| Симметрия графика | Не обязательна | Не обязательна | Относительно Oy |
| Алгоритм построения | Построить f(x) | Оставить неотрицательные ординаты, отрицательные заменить противоположными | Взять допустимую часть при x ≥ 0 и отразить относительно Oy |
| Поведение в точках пересечения с осью Ox | Точки остаются на Ox | Нули остаются на месте | Нули правой части повторяются симметрично, если допустимы |
Таблица помогает не смешивать два действия: в y = |f(x)| меняются значения y, а в y = f(|x|) — аргументы, по которым вычисляют f. Перед отражением всегда проверь область определения, иначе можно дорисовать недопустимые точки. Затем сравни получившуюся симметрию и расположение нулей с правилами таблицы.
Исходная парабола направлена вверх и пересекает Ox при x = −2 и x = 2. Между этими нулями выражение x² − 4 отрицательно, а за их пределами — положительно. Поэтому отражать нужно только участок параболы между пересечениями, а внешние ветви сохраняются.
Ответ: части исходной параболы при x ≤ −2 и x ≥ 2 остаются без изменения, а дуга при −2 ≤ x ≤ 2 отражается вверх.
Здесь модуль стоит у аргумента: сначала берём |x|, а затем подставляем его в функцию f(t) = (t − 2)². Значит, нужно использовать ту часть исходного графика, где аргумент t неотрицателен. Исходная парабола имеет вершину (2; 0), и эта точка сохраняется справа, а затем появляется её зеркальная точка слева.
Ответ: график состоит из правой части параболы y = (x − 2)² и её зеркального отражения относительно Oy.
В этой формуле применены оба преобразования: сначала модуль аргумента создаёт симметрию, затем модуль всего выражения поднимает отрицательные значения. Упростим выражение, положив t = |x|, где t ≥ 0. Тогда внутри внешнего модуля стоит t² − 2t, нули которого при t = 0 и t = 2.
Ответ: нули: x = −2, 0, 2; множество значений: [0; +∞).
Ошибка: при построении y = |f(x)| отражают относительно Ox весь график. Так теряются исходные положительные ординаты, хотя модуль их не меняет. Это часто происходит из-за запоминания слова «отражение» без проверки знака. Проверьте несколько точек: если f(x) ≥ 0, их высота должна остаться прежней.
Ошибка: для y = f(|x|) отражают левую часть исходного графика. Но |x| всегда неотрицателен, поэтому именно правая часть задаёт нужные значения. Путаница возникает, когда оба преобразования воспринимают как одно и то же отражение. Проверьте, что строите сначала при x ≥ 0, а потом переносите точки влево.
Ошибка: считают y = |f(x)| и y = f(|x|) одним графиком. В первом случае берут модуль результата, во втором — аргумента, поэтому меняются разные координаты точек и общий вид графика. Ошибку допускают, не следя за расположением модуля в формуле. Подставьте конкретное x, например −1, и отдельно вычислите оба выражения.
Ошибка: для f(|x|) достраивают график там, где исходная функция не определена. Модуль аргумента не отменяет ограничений области определения f, поэтому не всякое x автоматически подходит. Это упускают, если сразу начинают отражать график. Сначала проверьте условие |x| ∈ D(f), а затем отмечайте только допустимые точки.
Для этой темы нужны понятия функции и её графика, модуль числа, координатная плоскость и симметрия относительно осей. Без них трудно понять, какие точки и куда перемещаются. Приёмы пригодятся для построения кусочных, чётных и нечётных функций, исследования графиков, а также решения графических уравнений и неравенств. Позже они помогут разбирать формулы с несколькими модулями и находить области определения и множества значений.
Почему при построении y = |f(x)| отражается только часть графика ниже оси Ox?
Модуль не меняет неотрицательные значения: если f(x) ≥ 0, то |f(x)| = f(x). Отрицательные значения меняют знак, поэтому соответствующие точки поднимаются на такое же расстояние над осью Ox.
Почему для y = f(|x|) нужно брать именно правую часть исходного графика?
Аргумент |x| никогда не бывает отрицательным, поэтому функция f вычисляется только при значениях аргумента t ≥ 0. Эта часть исходного графика задаёт значения для x ≥ 0, а для x < 0 те же значения повторяются зеркально.
Всегда ли график y = f(|x|) симметричен относительно оси Oy?
Да, если точки соответствующих аргументов допустимы: при x и −x модуль одинаков, поэтому f(|x|) принимает одинаковые значения. Поэтому график симметричен относительно оси Oy, даже если исходный график таким свойством не обладал.
Как определить область определения функции f(|x|)?
Нужно найти все x, для которых |x| принадлежит области определения f. Например, если f задана только при аргументах от 1 до 4, то для f(|x|) подходят x от −4 до −1 и от 1 до 4.
Можно ли построить график с помощью таблицы значений, не используя исходный график?
Можно: выбирайте допустимые x, вычисляйте f(x), а затем берите модуль значения или подставляйте |x| — в зависимости от формулы. Для y = f(|x|) удобно считать значения для x ≥ 0 и переносить их на отрицательную сторону симметрично. Таблица даёт отдельные точки, поэтому для точного вида графика полезно также учитывать нули и промежутки знакопостоянства.
§ 23. Как построить графики функций у = \f(x)\ и у = f(\x\)
