§ 24. Основные понятия

Определения и обозначения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Буква x обозначает переменную, а a, b и c — числа. Такое определение помогает узнать квадратное уравнение даже тогда, когда его запись сначала выглядит иначе.

Коэффициенты квадратного уравнения — числа a, b и c в его стандартной записи. Число a называют коэффициентом при x², b — коэффициентом при x, а c — свободным членом. По этим трём числам описывают вид уравнения и выбирают способ его решения.

Корень квадратного уравнения — значение переменной, при подстановке которого равенство становится верным. Иными словами, левая часть уравнения при этом значении должна обратиться в ноль. Поэтому корень не определяют по внешнему виду записи: его обязательно проверяют подстановкой.

Как это устроено

Уравнение называют квадратным не просто потому, что в нём где-то встречается x². Сначала нужно упростить выражение: раскрыть скобки, перенести слагаемые и привести подобные. Если после этих действий наибольшая степень переменной равна двум, уравнение можно записать как ax² + bx + c = 0 и назвать квадратным.

Условие a ≠ 0 исключает случай, когда квадратное слагаемое фактически отсутствует. При a = 0 выражение ax² равно нулю, и остаётся bx + c = 0 — линейное уравнение, если b ≠ 0. Значит, именно ненулевой коэффициент при x² показывает, что перед нами уравнение второй степени.

Чтобы получить стандартный вид, сначала раскрывают скобки по правилам умножения. Затем слагаемые с переменной и числа переносят в одну часть, а при переносе через знак равенства меняют знак. В конце приводят подобные слагаемые и располагают их в порядке убывания степеней: сначала x², затем x, затем свободный член.

Коэффициенты определяют только после такого упрощения. Если в записи нет слагаемого с x, это означает b = 0, а отсутствие свободного члена означает c = 0. Например, 5x² − 9 = 0 можно мысленно записать как 5x² + 0x − 9 = 0.

Полным называют квадратное уравнение, в котором есть все три слагаемых и b ≠ 0, c ≠ 0. Если отсутствует слагаемое с x, получается вид ax² + c = 0; если нет свободного члена — ax² + bx = 0. Возможен и случай ax² = 0, где остаётся только квадратный член, поэтому такие уравнения относят к неполным.

Виды квадратных уравнений

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала приведите уравнение к стандартному виду. Затем проверьте наличие трёх слагаемых и значения b и c. Отсутствующее слагаемое не пропускают молча: его коэффициент считают равным нулю.

Разбор задач

Задача 1

Определим, является ли уравнение 3x² − 5x + 2 = 0 квадратным, и назовём его коэффициенты. Его запись уже совпадает со стандартным видом, поэтому дополнительное преобразование не требуется. Осталось сопоставить числа с местами коэффициентов.

1. Коэффициент при x² равен a = 3.
2. Коэффициент при x равен b = −5.
3. Свободный член равен c = 2, а условие a ≠ 0 выполнено.

Ответ: уравнение квадратное; a = 3, b = −5, c = 2. Знак минус перед 5 относится ко всему коэффициенту b.

Задача 2

Приведём уравнение 2(x − 1)² = 3x + 4 к стандартному виду. Сначала раскроем квадрат разности, затем перенесём правую часть влево. После приведения подобных станет видно, есть ли все три слагаемых.

1. Раскрываем скобки: 2(x² − 2x + 1) = 3x + 4, то есть 2x² − 4x + 2 = 3x + 4.
2. Переносим 3x и 4 в левую часть: 2x² − 4x − 3x + 2 − 4 = 0.
3. Приводим подобные: 2x² − 7x − 2 = 0.

Ответ: стандартный вид — 2x² − 7x − 2 = 0; уравнение полное, потому что a = 2, b = −7 и c = −2 не равны нулю.

Задача 3

Проверим, является ли число −2 корнем уравнения x² + 3x + 2 = 0. Для этого подставим −2 вместо x во всю левую часть, соблюдая скобки при возведении в квадрат. Если результат равен нулю, равенство выполнено.

1. Подставляем число: (−2)² + 3 · (−2) + 2.
2. Вычисляем: 4 − 6 + 2 = 0.
3. Получили ноль, значит исходное равенство при x = −2 верно.

Ответ: −2 является корнем уравнения. Одного совпадения с отдельным слагаемым недостаточно: проверяют всю левую часть целиком.

Типичные ошибки

Считать уравнение квадратным до упрощения — ошибка, потому что скобки или одинаковые слагаемые могут уничтожить x². Такое часто происходит, когда ученик смотрит только на исходную запись. Проверяйте старшую степень после всех преобразований.

Иногда коэффициент a ошибочно допускают равным нулю. Но тогда квадратный член исчезает, и уравнение перестаёт быть квадратным. Сверяйте условие a ≠ 0 уже в стандартной записи.

При переносе слагаемого или раскрытии скобок можно потерять знак. Ошибку обнаруживают обратной проверкой: раскройте полученное выражение или подставьте удобное значение x в обе формы и сравните результаты.

Отсутствующий коэффициент иногда считают неопределённым. На самом деле отсутствие слагаемого означает нулевой коэффициент: нет bx — значит b = 0, нет c — значит c = 0. Для проверки мысленно допишите это слагаемое с нулём.

Связь с другими темами

До изучения квадратных уравнений нужно уметь раскрывать скобки, переносить слагаемые через знак равенства и приводить подобные. Эти действия позволяют получить стандартный вид без изменения смысла уравнения.

Понятия квадратного уравнения и его коэффициентов понадобятся при изучении способов решения: разложения на множители, выделения полного квадрата и использования формулы корней. К квадратным уравнениям также сводятся многие задачи из алгебры и геометрии.

Что запомнить

• Стандартный вид квадратного уравнения: ax² + bx + c = 0.
• Коэффициент a обязательно отличен от нуля.
• Коэффициенты определяют после приведения уравнения к стандартному виду.
• Если слагаемое отсутствует, его коэффициент равен нулю.
• Корень уравнения при подстановке обращает равенство в верное.
• Уравнение без одного или нескольких слагаемых называют неполным квадратным уравнением.