"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Квадратное уравнение можно решить, не подбирая корни наугад: для этого используют дискриминант и формулу корней. По коэффициентам уравнения сначала вычисляют число D = b² − 4ac, а затем определяют, сколько действительных корней существует. Если D неотрицателен, значения переменной находят по формуле с √D. Главное — привести уравнение к стандартному виду и точно учесть знаки коэффициентов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c называется свободным членом. Условие a ≠ 0 означает, что в уравнении действительно есть член со второй степенью переменной. Приведение к такому виду помогает одинаково решать уравнения с разной записью.
Корень квадратного уравнения — значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное равенство. Например, чтобы проверить число, нужно заменить им x в обеих частях исходного уравнения и вычислить результат. Это определение позволяет не только найти ответы, но и проверить, подходят ли они. У квадратного уравнения может быть два действительных корня, один или ни одного.
Дискриминант — число D = b² − 4ac, вычисляемое по коэффициентам квадратного уравнения. Его значение показывает, сколько у уравнения действительных корней. Дискриминант нужен, чтобы до вычисления корней понять, какой случай перед нами. Буква D — краткое обозначение выражения b² − 4ac.
Формула корней квадратного уравнения — x = (−b ± √D)/(2a). Она позволяет найти корни, подставив в неё коэффициенты и дискриминант. Знак ± означает два отдельных вычисления: сначала со знаком плюс, затем со знаком минус. Формула применяется в действительных числах, когда D ≥ 0.
Чтобы использовать одну формулу для разных уравнений, сначала записывают их в стандартном виде ax² + bx + c = 0. Для этого раскрывают скобки, переносят все слагаемые в одну сторону и приводят подобные. Тогда коэффициенты можно определить однозначно: a — число перед x², b — перед x, c — слагаемое без x. Если бы a равнялось нулю, член с x² исчез бы и уравнение уже не было бы квадратным.
Появление дискриминанта можно увидеть, преобразуя уравнение. Разделим обе части на a и перенесём свободный член: x² + (b/a)x = −c/a. Чтобы левая часть стала квадратом двучлена, к обеим частям прибавим квадрат половины коэффициента при x: b²/(4a²). Тогда слева получится (x + b/(2a))², а справа — (b² − 4ac)/(4a²). Именно числитель b² − 4ac и называют дискриминантом.
После такого преобразования квадрат двучлена равен D/(4a²). Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому при D < 0 равенство невозможно и действительных корней нет. При D = 0 квадрат равен нулю, значит, получается одно значение x. При D > 0 можно извлечь квадратный корень с двумя знаками, поэтому возникают два различных действительных корня.
Из равенства (x + b/(2a))² = D/(4a²) следует x + b/(2a) = ±√D/(2a), откуда получается формула корней. Знак ± нельзя терять: при положительном D он даёт два значения. Знаменатель 2a делит весь числитель −b ± √D, а не только один из его членов. При D = 0 оба варианта совпадают.
Решение начинают с приведения уравнения к стандартному виду, затем выписывают a, b и c вместе со знаками. После вычисления D выбирают случай: при отрицательном значении останавливаются, при нуле находят один корень, при положительном — два. Полученные значения подставляют в исходное уравнение. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в преобразованиях или вычислениях.
| Условие на дискриминант | Количество действительных корней | Формула или результат | Геометрический смысл |
|---|---|---|---|
| D > 0 | Два | x₁ = (−b + √D)/(2a), x₂ = (−b − √D)/(2a) | Парабола пересекает ось x в двух точках |
| D = 0 | Один | x = −b/(2a) | Парабола касается оси x |
| D < 0 | Ни одного | Действительных корней нет | Парабола не пересекает ось x |
Сначала найдите дискриминант и сопоставьте его знак с первой колонкой. Затем используйте результат из третьей колонки: вычислите оба значения, одно значение или запишите, что действительных корней нет. Геометрический смысл помогает представить связь корней с пересечениями графика уравнения y = ax² + bx + c и оси x.
Ответ: 2 и 3.
Ответ: 1/2 и −2.
Ответ: (7 + √41)/4 и (7 − √41)/4.
Первая ошибка — неверно определить свободный член или знак b после переноса слагаемых. Её допускают, когда переносят выражение через знак равенства, но забывают изменить его знак. Проверяйте себя, записывая полученное уравнение целиком в стандартном виде и только потом выписывая коэффициенты.
Вторая ошибка — записать дискриминант как b² − 4a + c вместо b² − 4ac или неверно возвести отрицательное b в квадрат. В формуле произведение 4ac вычитается целиком, поэтому полезно подставлять числа со скобками: например, (−5)². Пересчитайте отдельно b² и 4ac, а затем выполните вычитание.
Третья ошибка — извлекать √D при D < 0 и получать несуществующие действительные корни. Так происходит, если сразу подставлять числа в формулу, не проверив знак D. Сначала вычислите дискриминант: при отрицательном значении остановитесь и запишите, что действительных корней нет.
Четвёртая ошибка — потерять ±, разделить на 2a только часть числителя или неверно сократить дробь. При D > 0 нужно выполнить два вычисления, а знаменатель относится ко всему числителю. Перед сокращением запишите каждую дробь целиком и проверьте найденные значения подстановкой в исходное уравнение.
Для применения формулы нужны навыки приведения уравнения к стандартному виду, действий с квадратами и корнями, преобразования выражений и решения линейных уравнений. Дискриминант и корни пригодятся при решении квадратных неравенств, задач с параметрами и исследовании квадратичной функции. Корни уравнения — это нули квадратичной функции, то есть значения x, при которых её значение равно нулю. Они же помогают разложить квадратный трёхчлен на множители.
Почему коэффициент a в квадратном уравнении не может быть равен нулю?
Если a = 0, слагаемое ax² исчезает, и уравнение становится линейным или вовсе перестаёт быть уравнением. Поэтому для квадратного уравнения обязательно условие a ≠ 0.
Что делать, если дискриминант получился отрицательным?
В множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не определён. Значит, уравнение не имеет действительных корней.
Почему при D = 0 записывают один корень, хотя в формуле есть знак ±?
При D = 0 значение √D равно нулю. Поэтому оба варианта, −b + √D и −b − √D, совпадают и дают один корень x = −b/(2a).
Как не ошибиться в знаках коэффициентов при вычислении дискриминанта?
Сначала перепишите уравнение в виде ax² + bx + c = 0 и выпишите a, b и c отдельно, сохраняя знаки. Затем подставьте значения в D = b² − 4ac, а отрицательный коэффициент b заключите в скобки.
Можно ли решать квадратное уравнение по формуле, если оно не приведено к стандартному виду?
Сначала уравнение нужно преобразовать к виду ax² + bx + c = 0. Раскройте скобки, перенесите слагаемые в одну сторону и приведите подобные, иначе легко неверно определить коэффициенты.
§ 25. Формулы корней квадратного уравнения
